Corrigé exercice 16 - Chimie - PCSI

Architecture de la matière
LES ORBITALES
1) On constate que la densité de probabilité de présence ne dépend que de , c’est-à-dire que la
valeur de est la même pour tous les points d’une sphère de centre O et de rayon .
On dit que les surfaces d’isodensité isodensité de probabilité de présence sont des sphères de centre O, ou
encore que
l’orbitale 1 est à symétrie sphérique.
Les orbitales atomiques d’un type donné ( (, , …), c’est-à-dire dire d’une valeur du nombre quantique
secondaire donnée (ℓ 0, , 1, 2…) possèdent la même forme à tous les niveaux d’énergie. Seule la taille
change :
On trace l’allure de la fonction
Toutes les OA sont à symétrie sphérique.
0
Plus le rayon est petit, c’est-à-dire dire plus on se rapproche du noyau, plus la densité de probabilité de
l’électron est élevée. On trace ci-dessous dessous trois sphères d’isodensité correspondant aux rayons , et
:
Corrigé exercice 16
ES ORBITALES 1 ET 2 DE L’ATOME D’HYDROGÈNE
HYDROGÈNE
:
x
sphères d’isodensité d’une OA de type s
2) On calcule la probabilité dans l’espace entier et on vérifie que cette probabilité vaut 1
(condition de normalisation) :
z
Exercice 16
y
Page 1 sur 4

d ⋅ d
(car la densité de probabilité est définie par d
d )
⋅ ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d
(car l’élément de volume s’exprimer en coordonnées sphériques : d ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d)
1
2
⋅ exp − ⋅
⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d
Cette intégrale est à variables séparables, donc on peut écrire :
1
⋅ exp − 2
⋅ d
× sin ⋅ d
× d
On calcule alors chaque intégrale séparément :
⋅ exp − 2
⋅ d
2
2
4
(grâce à l’indication mathématique fournie)
Architecture de la matière Exercice 16 Page 2 sur 4
sin ⋅ d
− cos −−1 − −1 2
d
2
Finalement :
1
×
× 2 × 2
4
La fonction est bien normalisée.
3) On pose le même calcul que précédemment, mais on intègre en rayon entre
et 5 :
⋅ ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d
1
⋅ exp − 2
⋅ d
× sin ⋅ d
× d
Les deux intégrales sur les angles ont été calculées à la question précédente :
sin ⋅ d
2 et d
2

Pour calculer l’intégrale en rayon, il faut faire deux intégrations par parties successives…
Le résultat final est :
5
2 − 61 91,7%
4) Une coquille sphérique de centre O et de rayon est un élément de volume infinitésimal contenu
entre la sphère de rayon et la sphère de rayon + d.
x
z
coquille sphérique de rayon r
et d’épaisseur dr
Le volume d de cette coquille est égal à la surface de la sphère (intérieure ou extérieure, car
épaisseur infinitésimale) multipliée par son épaisseur, soit : d d.
On peut le démontrer en sommant les éléments de volume d ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d sur tous les
angles en maintenant constant, ce qui décrit bien tout le volume de la coquille :
d ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d sin ⋅ d
× d
× ⋅ d 4d
Architecture de la matière Exercice 16 Page 3 sur 4
Or on a remarqué précédemment que l’OA 1 ne dépendait que de : elle est à symétrie sphérique. Par
conséquent, tout point de la coquille sphérique possède la même valeur de densité volumique de
probabilité de présence . La probabilité dans la coquille est donc simplement le produit de par
le volume de la coquille d 4 d :
d × 4 d
d 4
× exp − 2
⋅ d
5) La fonction de distribution radiale représente la distribution de la probabilité en fonction du
rayon uniquement à tous angles confondus. C’est la probabilité dans une coquille sphérique par unité
d’épaisseur de la coquille, soit :
, d
d
y
4
× exp − 2
Pour étudier cette fonction, on la dérive, on en déduit ses variations et on trace le graphe (déjà fait sur
l’énoncé) :
d ,
d
d ,
d
4
8
2
2 ⋅ exp − −
2
2
⋅ ⋅ exp − ⋅ 1 −
⋅ exp − 2
Cette dérivée s’annule en , est positive avant et négative après.
La fonction , est donc :
- croissante sur 0; ;
- passe par un maximum en 0,0529 nm ; ce rayon particulier, le rayon de Bohr, est
le rayon le plus probable pour trouver l’électron (il faut choisir la coquille sphérique
ayant ce rayon-là pour avoir le maximum de chances d’y détecter l’électron) ; ce rayon est
défini comme le rayon de l’atome d’hydrogène en physique quantique ;
- est décroissante sur ; +∞ ; plus on s’éloigne du noyau, c’est-à-dire plus on choisit une

coquille sphérique de grand rayon, moins on a de chance d’y trouver l’électron.
6) L’orbitale 2 est à symétrie sphérique, comme toutes les OA de type : on retrouve bien cette
propriété dans le fait que la densité de probabilité de présence ne dépende que de . Les surfaces
d’isodensité de probabilité sont donc des sphères centrées en O, comme pour l’OA 1.
On remarque que pour 2 , et , s’annulent : cette sphère où l’électron n’est jamais présent
est appelée une sphère nodale.
En étudiant la fonction , (voir aussi sur le graphe fourni), on constate qu’elle atteint un maximum
en 3 + √5 ≈ 5,2 ; le rayon de l’OA 2 est donc beaucoup plus grand que celui l’orbitale 1
(qui vaut ).
Représentation usuelle des OA et
x
z
sphère nodale (rayon 2a0)
sphères d’isodensité de l’OA 2s
En général, on ne dessine que l’une des sphères d’isodensité, choisie avec un rayon tel que la
probabilité de trouver l’électron à l’intérieur soit très élevée (par exemple 90%). Pour que l’aire sous
la courbe représente 90% de l’aire totale, on voit qu’il faut choisir un rayon de l’ordre de 2,5 pour
1 et de l’ordre de 7 pour 2 :
x
orbitale 1s
(état fondamental de H)
z
y
Architecture de la matière Exercice 16 Page 4 sur 4
y
x
z
orbitale 2s
(état excité de H)
y