Corrigé exercice 16 - Chimie - PCSI
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Architecture de la matière<br />
LES ORBITALES<br />
1) On constate que la densité de probabilité de présence ne dépend que de , c’est-à-dire que la<br />
valeur de est la même pour tous les points d’une sphère de centre O et de rayon .<br />
On dit que les surfaces d’isodensité isodensité de probabilité de présence sont des sphères de centre O, ou<br />
encore que<br />
l’orbitale 1 est à symétrie sphérique.<br />
Les orbitales atomiques d’un type donné ( (, , …), c’est-à-dire dire d’une valeur du nombre quantique<br />
secondaire donnée (ℓ 0, , 1, 2…) possèdent la même forme à tous les niveaux d’énergie. Seule la taille<br />
change :<br />
On trace l’allure de la fonction <br />
<br />
Toutes les OA sont à symétrie sphérique.<br />
0<br />
<br />
Plus le rayon est petit, c’est-à-dire dire plus on se rapproche du noyau, plus la densité de probabilité de<br />
l’électron est élevée. On trace ci-dessous dessous trois sphères d’isodensité correspondant aux rayons , et<br />
<br />
:<br />
<strong>Corrigé</strong> <strong>exercice</strong> <strong>16</strong><br />
ES ORBITALES 1 ET 2 DE L’ATOME D’HYDROGÈNE<br />
HYDROGÈNE<br />
:<br />
x<br />
sphères d’isodensité d’une OA de type s<br />
2) On calcule la probabilité dans l’espace entier et on vérifie que cette probabilité vaut 1<br />
(condition de normalisation) :<br />
z<br />
Exercice <strong>16</strong><br />
y<br />
Page 1 sur 4
d ⋅ d<br />
<br />
<br />
(car la densité de probabilité est définie par d<br />
d )<br />
<br />
<br />
<br />
⋅ ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d<br />
<br />
(car l’élément de volume s’exprimer en coordonnées sphériques : d ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d)<br />
<br />
<br />
1<br />
<br />
<br />
2<br />
⋅ exp − ⋅ <br />
⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d<br />
Cette intégrale est à variables séparables, donc on peut écrire :<br />
<br />
1<br />
⋅ exp − 2<br />
⋅ d<br />
× sin ⋅ d<br />
× d<br />
<br />
On calcule alors chaque intégrale séparément :<br />
<br />
<br />
⋅ exp − 2<br />
⋅ d<br />
<br />
<br />
2<br />
2<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
4<br />
(grâce à l’indication mathématique fournie)<br />
<br />
Architecture de la matière Exercice <strong>16</strong> Page 2 sur 4<br />
<br />
<br />
sin ⋅ d<br />
− cos −−1 − −1 2<br />
<br />
<br />
d<br />
2<br />
<br />
Finalement :<br />
1<br />
× <br />
× 2 × 2 <br />
4<br />
La fonction est bien normalisée.<br />
3) On pose le même calcul que précédemment, mais on intègre en rayon entre <br />
et 5 :<br />
<br />
<br />
<br />
⋅ ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
⋅ exp − 2<br />
⋅ d<br />
× sin ⋅ d<br />
× d<br />
<br />
<br />
Les deux intégrales sur les angles ont été calculées à la question précédente :<br />
<br />
<br />
sin ⋅ d<br />
2 et d<br />
2
Pour calculer l’intégrale en rayon, il faut faire deux intégrations par parties successives…<br />
Le résultat final est :<br />
5<br />
2 − 61 91,7%<br />
4) Une coquille sphérique de centre O et de rayon est un élément de volume infinitésimal contenu<br />
entre la sphère de rayon et la sphère de rayon + d.<br />
x<br />
z<br />
coquille sphérique de rayon r<br />
et d’épaisseur dr<br />
Le volume d de cette coquille est égal à la surface de la sphère (intérieure ou extérieure, car<br />
épaisseur infinitésimale) multipliée par son épaisseur, soit : d d.<br />
On peut le démontrer en sommant les éléments de volume d ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d sur tous les<br />
angles en maintenant constant, ce qui décrit bien tout le volume de la coquille :<br />
<br />
<br />
d ⋅ sin ⋅ d ⋅ d ⋅ d sin ⋅ d<br />
× d<br />
× ⋅ d 4d <br />
Architecture de la matière Exercice <strong>16</strong> Page 3 sur 4<br />
<br />
<br />
Or on a remarqué précédemment que l’OA 1 ne dépendait que de : elle est à symétrie sphérique. Par<br />
conséquent, tout point de la coquille sphérique possède la même valeur de densité volumique de<br />
probabilité de présence . La probabilité dans la coquille est donc simplement le produit de par<br />
le volume de la coquille d 4 d :<br />
d × 4 d<br />
d 4<br />
× exp − 2<br />
⋅ d<br />
5) La fonction de distribution radiale représente la distribution de la probabilité en fonction du<br />
rayon uniquement à tous angles confondus. C’est la probabilité dans une coquille sphérique par unité<br />
d’épaisseur de la coquille, soit :<br />
, d <br />
d<br />
y<br />
<br />
4<br />
× exp − 2<br />
<br />
Pour étudier cette fonction, on la dérive, on en déduit ses variations et on trace le graphe (déjà fait sur<br />
l’énoncé) :<br />
d ,<br />
d<br />
d ,<br />
d<br />
4<br />
<br />
8<br />
<br />
2<br />
2 ⋅ exp − −<br />
2<br />
2<br />
⋅ ⋅ exp − ⋅ 1 −<br />
<br />
<br />
⋅ exp − 2<br />
<br />
Cette dérivée s’annule en , est positive avant et négative après.<br />
La fonction , est donc :<br />
- croissante sur 0; ;<br />
- passe par un maximum en 0,0529 nm ; ce rayon particulier, le rayon de Bohr, est<br />
le rayon le plus probable pour trouver l’électron (il faut choisir la coquille sphérique<br />
ayant ce rayon-là pour avoir le maximum de chances d’y détecter l’électron) ; ce rayon est<br />
défini comme le rayon de l’atome d’hydrogène en physique quantique ;<br />
- est décroissante sur ; +∞ ; plus on s’éloigne du noyau, c’est-à-dire plus on choisit une
coquille sphérique de grand rayon, moins on a de chance d’y trouver l’électron.<br />
6) L’orbitale 2 est à symétrie sphérique, comme toutes les OA de type : on retrouve bien cette<br />
propriété dans le fait que la densité de probabilité de présence ne dépende que de . Les surfaces<br />
d’isodensité de probabilité sont donc des sphères centrées en O, comme pour l’OA 1.<br />
On remarque que pour 2 , et , s’annulent : cette sphère où l’électron n’est jamais présent<br />
est appelée une sphère nodale.<br />
En étudiant la fonction , (voir aussi sur le graphe fourni), on constate qu’elle atteint un maximum<br />
en 3 + √5 ≈ 5,2 ; le rayon de l’OA 2 est donc beaucoup plus grand que celui l’orbitale 1<br />
(qui vaut ).<br />
Représentation usuelle des OA et <br />
x<br />
z<br />
sphère nodale (rayon 2a0)<br />
sphères d’isodensité de l’OA 2s<br />
En général, on ne dessine que l’une des sphères d’isodensité, choisie avec un rayon tel que la<br />
probabilité de trouver l’électron à l’intérieur soit très élevée (par exemple 90%). Pour que l’aire sous<br />
la courbe représente 90% de l’aire totale, on voit qu’il faut choisir un rayon de l’ordre de 2,5 pour<br />
1 et de l’ordre de 7 pour 2 :<br />
x<br />
orbitale 1s<br />
(état fondamental de H)<br />
z<br />
y<br />
Architecture de la matière Exercice <strong>16</strong> Page 4 sur 4<br />
y<br />
x<br />
z<br />
orbitale 2s<br />
(état excité de H)<br />
y