Curriculum Vitae - APC - Université Paris Diderot-Paris 7

cas de diffuseurs elliptiques, la connectivité entre ellipses est-elle un paramètre déterminant pour l’apparition de deux
modes longitudinaux ? Dans ce cas l’existence d’un 2 e mode longitudinal pour l’onde cohérente serait plutôt liée à celle
d’une onde guidée dans les travées (peut-être similaire à une onde de Lamb dans un guide d’onde aléatoire[28]), plutôt
qu’à un mode résonant de type Stoneley [15].
Enfin, l’application directe supposera la caractérisation in vitro d’os trabéculaires réels, avec étude systématique sur un
grand nombre d’échantillons osseux. Une collaboration avec des laboratoires plus directement impliqués dans les
applications cliniques serait alors nécessaire. A Paris, notre partenaire naturel serait l’équipe de P. Laugier (LIP, UMR
7623). Depuis la présentation récente de nos résultats préliminaires (Acoustical Society of America, nov. 2011) une
collaboration avec une équipe japonaise (M. Matsukawa, Doshisha University) est en projet.
2.3. La transition radiatif – diffus
Il est bien connu que la propagation de l’intensité véhiculée par une onde dans un milieu hétérogène aléatoire est régie par
l’équation de Bethe-Salpether[1-3, 13]. Formellement exacte, celle-ci ne peut-être résolue car elle nécessite le calcul du
vertex irréductible, qui (de façon analogue à la self-énergie pour l’équation de Dyson) fait apparaître une somme infinie de
diagrammes résumant tous les événements de diffusion possibles, avec leurs corrélations éventuelles. Les approximations
courantes (séparation des échelles de temps, d’espace, approximation des diagrammes de ladder) permettent d’aboutir à
une équation plus simple dite de transfert radiatif (ETR) à laquelle obéit l’intensité spécifique I (ou radiance). Cette
grandeur résulte d’une décomposition angulaire du flux d’énergie, dE = IdSdtn.
udΩ
u représentant la quantité d’énergie
s’écoulant à travers une surface élémentaire dS de normale n , dans un intervalle de temps dt , vers un cône d’angle solide
dΩu autour de la direction u [29,30].
Physiquement, ces approximations consistent à assimiler la propagation de l’énergie véhiculée par l’onde à celle de de
particules classiques sans interaction entre elles, se propageant en suivant des rayons et subissant des diffusions
successives sur les hétérogénéités du milieu. On ignore donc ici l’aspect ondulatoire : les particules s’additionnent sans
interférer. L’élément clé décrivant le processus élémentaire de diffusion est la fonction de phase p ( u u′
)
, qui décrit la
probabilité pour une particule incidente selon u′
de diffuser selon u . Elle est définie à partir de la microstructure du milieu
hétérogène. Dans le cas d’un nuage de diffuseurs discrets identiques, la fonction de phase est simplement la section
efficace différentielle d’un diffuseur unique, normalisée par la section efficace totale. Au-delà des ondes scalaires, une
généralisation de l’ETR au cas des ondes élastiques dans les solides hétérogènes a été établie [31].
Malheureusement, en dehors de cas très simples (p.ex. ondes scalaires avec une fonction de phase isotrope, dans un milieu
infini) il n’existe pas de solution analytique de l’équation de transfert radiatif [32] et sa résolution nécessite un traitement
numérique lourd (surtout à 3D). Pour aller plus loin dans le traitement analytique, une approximation supplémentaire est
possible. Elle consiste en un développement de l’intensité spécifique en harmoniques sphériques, dont on ne retient que les
deux premiers termes :
I
c 3
≈ +… (Eq. 1)
4π
4π
( r,
u,
t)
W ( r,
t)
+ J ( r,
t)u
.
avec W la densité locale d’énergie (le « nombre de particules » se trouvant à l’instant t au point r) et J le courant moyen
de particules à l’instant t au point r. Dans le membre de droite de l’Eq. 1, le premier terme est isotrope (pas de dépendance
en u ) et le second faiblement anisotrope. Physiquement, cette approximation traduit le fait que même si toutes les
particules ont été initialement lancées dans la même direction, l’évolution naturelle des diffusions successives sera d’
« isotropiser » les directions de propagation. Elle est donc raisonnable au-delà de quelques événements de diffusion. On
montre alors que l’ETR se réduit à une simple équation de diffusion pour W, et conduit à J = −DgradW
(similaire à la loi
* *
de Fick) avec D = c 3 et = 1−
cos , désignant le cosinus moyen de l’angle de diffusion ( u u′
)
, , calculé à partir
p u u′
, .
de la fonction de phase ( )
L’approximation de la diffusion a été employée avec succès pour décrire le transport d’ondes acoustiques à travers des
milieux d’épaisseur supérieures à ~3 ∗
[33]. Dans le cas plus compliqué d’ondes élastiques, il est également possible
d’aboutir à une équation de diffusion pour W, D résultant alors d’une pondération des libres parcours moyen et vitesses des
modes S et P [31].
Aussi, dans le cas d’un transducteur piézo-électrique insonifiant un milieu hétérogène, pour déterminer l’intensité
transmise ou rétrodiffusée, une approche classique consiste à calculer la fonction de Green de l’équation de la diffusion
(voire de l’ETR si nécessaire) avec les conditions aux limites appropriées, puis d’écrire la solution comme une convolution
entre la fonction d’ouverture du transducteur et la fonction de Green.