Curriculum Vitae - APC - Université Paris Diderot-Paris 7

concentration (50-60%) [14]. Mais il n’en demeure pas moins que dans la très grande majorité des travaux, un seul mode
effectif est mis en évidence.
Or il existe des régimes, loin de la localisation forte, où le désordre est suffisamment faible pour que les approximations de
type ISA ou CPA soient encore valables, mais suffisamment fort pour que la fonction de Green moyenne, même dans un
fluide parfait, présente plusieurs pôles distincts, correspondant donc à plusieurs ondes cohérentes, chacune avec son
libre parcours moyen et sa vitesse. L’existence de plusieurs modes cohérents, même pour un fluide parfait dans lequel
n’existent que des ondes longitudinales, est-il une simple curiosité mathématique, sans fondement physique ou correspondil
à une réalité ?
Expérimentalement, observer indubitablement la propagation simultanée de deux modes cohérents est délicat. Faire
émerger l’onde cohérente suppose en effet une moyenne sur de nombreuses réalisations du désordre (que l’on peut espérer
remplacer par une moyenne spatiale via l’hypothèse d’ergodicité), ce qui est d’autant plus difficile à mettre en œuvre que
l’épaisseur traversée est grande devant le libre parcours moyen, car un plus grand nombre de réalisations est alors
nécessaire pour faire émerger l’onde cohérente. Or la distance de propagation doit justement être suffisamment grande pour
que deux modes de vitesses différentes puissent être résolus en temps. Et si les vitesses sont différentes, on peut penser que
les libres parcours moyens le sont aussi : dans ce cas, en augmentant la distance de propagation pour favoriser la séparation
des modes, on atténue aussi fortement celui des deux modes qui a le libre parcours moyen le plus faible. De tels régimes
sont donc très difficiles à observer [15,16]. Aussi dans la plupart des situations concrètes, il semble que le second mode de
la fonction de Green moyenne soit légitimement négligé.
Pour théoriques qu’elles semblent, ces spéculations sur la possibilité d’observer
plusieurs modes cohérents dans un fluide font pourtant écho à un phénomène encore
non expliqué en acoustique médicale : la présence, dans certaines conditions, de
deux ondes longitudinales dans un os trabéculaire plongé dans un fluide. L’os
trabéculaire (c'est-à-dire organisé sous forme de travées) est un milieu très complexe,
très poreux (en cas d’ostéoporose, le taux de porosité y est typiquement de 90 à
98%), et possède en général une structure anisotrope, les travées étant orientées
selon une direction préférentielle. Un exemple représentatif est donné Fig. 6.
Fig. 6 : reconstruction 3D de la structure trabéculaire d’une tête de fémur, après
microtomographie aux rayons X. La résolution est de 10 µ, les dimensions 7× 7×7 mm 3 .
Dans certaines conditions, non encore comprises, lorsqu’un échantillon d’os est immergé dans un fluide il a été clairement
observé deux modes longitudinaux [17,18] dans la gamme du MHz. Pour le moment, le modèle théorique de référence
utilisé pour interpréter ces résultats est la théorie de Biot [19,20], qui décrit les paramètres mécaniques effectifs d’un
milieu poreux. Toutefois cette approche est probablement inappropriée ici car la longueur d’onde n’est pas suffisamment
grande devant la taille des hétérogénéités pour que le modèle s’applique. La diffusion multiple doit être prise en compte.
D’autre part le modèle de Biot utilise une douzaine de paramètres d’ajustement (incluant la tortuosité de la phase
solide[21], les viscosités des phases liquides et solide) difficilement maîtrisables. Enfin certains résultats expérimentaux
récents indiquent que la dépendance fréquentielle de l’atténuation et l’influence de la nature de la phase liquide (moelle ou
eau) sur l’atténuation mesurée dans l’os trabéculaire poreux ne sont pas correctement décrits par la théorie de Biot [22].
Une modélisation adéquate de la propagation dans l’os poreux, en dehors du régime basse fréquence [23], reste donc à
établir. On peut pour cela s’inspirer de travaux relatifs à la diffusion dans des structures aléatoires anisotropes (p.ex.
cristaux liquides nématiques[24], matériaux texturés [25-27]), pour l’instant limités par hypothèse à l’existence d’un seul
mode longitudinal dominant.
D’un point de vue théorique, je propose de partir des approches traditionnelles en diffusion multiple (ISA, CPA, Bourret)
et de les appliquer à des structures hétérogènes inspirées de l’os trabéculaire, mais plus simples. Par exemple, pour rendre
compte de son anisotropie structurelle, on pourrait considérer une distribution aléatoire de diffuseurs elliptiques immergés
dans un fluide, les diffuseurs étant uniformément répartis mais présentant une direction d’alignement préférentielle. A des
taux de porosités comparables à ceux de l’os, une telle configuration ferait-elle apparaître deux modes ? Quels sont les
critères (direction préférentielle, concentration, percolation) pertinents pour voir apparaître deux modes ? La (ou les)
vitesse(s) de propagation de l’onde cohérente dépend(ent)-elle(s) fortement de la direction ?
Une piste alternative consisterait à décrire l’hétérogénéité de l’os par un potentiel continu ( r )
µ à statistique gaussienne et
présentant une fonction d’autocorrélation anisotrope. Plus généralement il faudrait résoudre l’équation de Dyson pour le
champ cohérent, en prenant comme base du modèle une fonction de corrélation simple mais suffisamment réaliste pour
décrire une structure aussi complexe que celle de la Fig. 6.
Ces pistes théoriques seraient complétées par l’utilisation d’un outil de simulation aux différences finies développé au
laboratoire par mon collègue E. Bossy (Simsonic). Celui-ci est pour l’instant limité à 2D, mais peut éclairer la
compréhension des phénomènes physiques, en variant facilement les paramètres structurels du milieu. Par exemple, dans le