Curriculum Vitae - APC - Université Paris Diderot-Paris 7

II. Trois axes de recherche
2.1. Matrices aléatoires et ondes en milieux complexes
Un des résultats importants des recherches que j’ai conduites ces dernières années concerne l’application d’une nouvelle
approche de la propagation des ondes en milieu complexe, fondée sur la théorie des matrices aléatoires. Ces recherches
ont été menées dans le cadre de la thèse d’Alexandre Aubry.
En laboratoire, on sonde un milieu inhomogène inconnu en employant des réseaux de N éléments piézo-électriques
indépendants (typiquement N~100), capables de convertir les signaux électriques en ultrasons et réciproquement (Fig. 1), à
des fréquences de l’ordre du MHz. Nous nous intéressons ici aux propriétés statistiques de l’opérateur de propagation
G, en rétrodiffusion.
Fig. 1 : Dispositif expérimental modèle. La « cible » à imager (cylindre métallique
de diamètre 10 mm) est dissimulée à une distance de 10 mm derrière une « forêt »
de diffuseurs métalliques (épaisseur 20 mm, diamètre 0,8 mm, densité 12 tiges/cm 2 ,
libre parcours moyen de diffusion 7 mm, à 3 MHz) répartis aléatoirement.
En fait, quelle que soit l’utilisation qui est faite du réseau (qu’il s’agisse d’imagerie classique par focalisation, de mesures
d’intensités, de corrélations spatio-temporelles du champ, etc…) toute l’information disponible est contenue dans la
matrice G des fonctions de Green inter-éléments. Pour les ondes ultrasonores, celle-ci est mesurable directement : une
impulsion brève est émise par l’élément n°i, et l’élément n°j enregistre le champ résultant gij(t). L’opération est répétée
pour toutes les valeurs possibles de i et de j, ce qui fournit un ensemble de N 2 signaux temporels dont chacun est un
élément de la matrice G. Une analyse temps-fréquence est ensuite effectuée, ce qui conduit à une série de matrices
complexes G(T,f) ou f désigne la fréquence et T le temps d’écho.
Le cas d’école représenté sur la figure 1 est celui d’une cible échogène, dissimulée derrière une forêt de plusieurs centaines
de tiges métalliques plus petites, réparties aléatoirement. L’expérience a lieu dans une cuve remplie d’eau. Ici l’épaisseur
de la couche diffusante est environ le triple de son libre parcours moyen, aussi la diffusion multiple domine-t-elle
clairement et l’intensité de l’écho cohérent qui a traversé le milieu, s’est réfléchi sur la cible et revient vers le réseau est
atténuée d’un facteur exp(6) ~ 400 par la diffusion. Naturellement, dans cette situation où la diffusion multiple domine, les
techniques classiques d’imagerie échouent totalement. C’est ce qu’illustre l’image échographique réalisée avec le même
réseau (fig. 2) :
Fig. 2 : Image échographique classique, en échelle logarithmique (dB),
réalisée par focalisation en émission et réception. Les premiers diffuseurs
de la forêt sont très clairement détectés. Mais au-delà de quelques mm (soit
l’ordre de grandeur du libre parcours moyen de diffusion) la diffusion
multiple devient prépondérante et l’image obtenue est une figure de speckle,
sans aucun lien direct avec la structure physique du milieu. La cible
échogène, qui se trouve ici à la profondeur Z=70 mm n’est absolument pas
détectée alors que son diamètre est douze fois supérieur à celui des
diffuseurs environnants.
Ici la contribution de diffusion simple recherchée (l’écho direct de la cible) est complètement noyée dans les contributions
de diffusion simple et surtout multiple provenant de la forêt de petites tiges. Peut-on en retrouver la trace dans la matrice
G, et construire une image plus fiable malgré la diffusion multiple ?
Malgré le désordre, en régime de diffusion multiple les éléments de la matrice G ne sont ni indépendants (à cause des
corrélations courte portée du champ diffus et de la réciprocité, qui impose Gij=Gji) ni identiquement distribués (à cause de
la rétrodiffusion cohérente, en moyenne les éléments diagonaux Gii ont une variance double des éléments non
diagonaux). Cela se traduit par un écart, que nous avons étudié, par rapport à la loi dite du « quart de cercle »
ρ ˆ 2
λ = 4 − ˆ λ , qui décrit la densité de probabilité des valeurs singulières λˆ d’une matrice aléatoire carrée de grandes
QC
( ) π
dimensions [6].
De plus, nos travaux ont établi que même dans un milieu constitué de diffuseurs aléatoirement répartis, en régime de
diffusion simple la matrice G présente une propriété remarquable supplémentaire : quelle que soit la réalisation du
désordre considérée, une forme particulière de cohérence spatiale persiste le long de ses anti-diagonales, c’est-à-dire
pour tous les couples d’éléments (i,j) tels que i+j=constante. En revanche, en régime de diffusion multiple (loin du seuil de