formation des images dans l'approximation de gauss
formation des images dans l'approximation de gauss
formation des images dans l'approximation de gauss
Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 1/16<br />
CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS<br />
L’APPROXIMATION DE GAUSS<br />
I. INTRODUCTION<br />
A l’ai<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> lois décrivant le comportement <strong>de</strong> la lumière <strong>dans</strong> l’approximation <strong>de</strong> l’optique<br />
géométrique, nous allons maintenant nous intéresser au comportement d’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons<br />
lumineux. Notre but est d’étudier la convergence <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons lumineux issus d’une source lumineuse<br />
1 , i.e. la <strong>formation</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>images</strong>. Nous étudierons les <strong>images</strong> formées par <strong><strong>de</strong>s</strong> miroirs et <strong><strong>de</strong>s</strong> lentilles<br />
minces avec pour objectif <strong>de</strong> traiter <strong>dans</strong> le chapitre suivant leurs nombreuses applications aux<br />
instruments d’optiques.<br />
II. IMAGES EN OPTIQUE GEOMETRIQUE<br />
1) Stigmatisme d’un système optique<br />
Un instrument d’optique est composé d’un système optique provoquant la convergence <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons<br />
lumineux (miroir, lentille ou ensemble <strong>de</strong> miroirs et <strong>de</strong> lentilles) et d’un détecteur qui peut être un<br />
écran, un œil, une plaque photographique, une caméra CCD …<br />
Lorsque l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons lumineux émis par un point objet A converge en un point A′ du<br />
détecteur, A′ est appelé image <strong>de</strong> A , on dit aussi que l’instrument est stigmatique 2 pour le couple<br />
<strong>de</strong> points AA′ (figure 8.1.a.). En vertu du principe <strong>de</strong> retour inverse, le système optique donnera<br />
d’un point objet placé en A′ une image en A . Pour cette raison, les <strong>de</strong>ux points sont dits conjugués<br />
l’un <strong>de</strong> l’autre. Une relation <strong>de</strong> conjugaison permet <strong>de</strong> trouver l’un en connaissant l’autre.<br />
Le stigmatisme d’un système optique est dit rigoureux si l’image d’un objet ponctuel est un point.<br />
En pratique, l’image est toujours dégradée par rapport à l’objet, le stigmatisme d’un système<br />
optique n’est donc pas rigoureux. Mais le caractère granulaire du récepteur nous permettra tout <strong>de</strong><br />
même <strong>de</strong> considérer le système optique comme stigmatique : si l’image d’un objet ponctuel a une<br />
dimension inférieure au « grain » du récepteur (cônes et bâtonnets <strong>de</strong> la rétine, cristal photosensible<br />
<strong>de</strong> la pellicule photographique, pixel <strong>de</strong> la caméra CCD …), tout se passera comme si l’image était<br />
ponctuelle.<br />
Remarque :<br />
D’après le principe <strong>de</strong> moindre temps, tous les rayons issus du point objet doivent voyager <strong>de</strong> A à<br />
A′ en une même durée minimale.<br />
2) Image réelle, image virtuelle<br />
Les définitions données <strong>dans</strong> le paragraphe précé<strong>de</strong>nts sont valables pour un système optique à la<br />
sortie duquel les rayons issus d’un objet ponctuel convergent : une telle image est dite réelle.<br />
Nous pouvons les généraliser au cas où les rayons sortants divergent : l’image virtuelle est alors le<br />
point <strong>de</strong> convergence du prolongement arrière <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons (figure 8.1.b.). Contrairement au cas<br />
d’une image réelle, une telle image, en amont du système optique (ou <strong>dans</strong> le système optique), ne<br />
peut pas être recueillie sur un écran.<br />
1<br />
cette source peut être primaire , i.e. émettre <strong>de</strong> la lumière (soleil, ampoule), ou secondaire , i.e. diffuser <strong>de</strong> la lumière<br />
reçue d’une source primaire (objet éclairé).<br />
2<br />
du grec stigma : « pointe »
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 2/16<br />
A système optique A’ A A’<br />
Figure 8.1.a. : Image réelle Figure 8.1.b. : Image virtuelle<br />
3) Exemple du miroir plan<br />
Considérons un point objet placé à une distance AH d’un miroir plan (figure 8.2.). La situation<br />
possédant une symétrie <strong>de</strong> révolution par rapport à l’axe (AH), nous restreindrons notre étu<strong>de</strong> à un<br />
plan contenant cet axe, la situation générale en trois dimensions s’en déduisant par rotation autour<br />
<strong>de</strong> l’axe (AH). Cette symétrie impose donc à l’image <strong>de</strong> A <strong>de</strong> se trouver sur l’axe (AH).<br />
⊕<br />
Figure 8.2. : Miroir plan<br />
Les lois <strong>de</strong> Descartes <strong>de</strong> la réflexion permettent <strong>de</strong> tracer un rayon quelconque réfléchi par le<br />
miroir. Le triangle AIA′ est isocèle <strong>de</strong> base 2d : les prolongements <strong>de</strong> tous les rayons issus <strong>de</strong> A et<br />
réfléchis par le miroir passent donc par le point A’ : A’ est le point conjugué <strong>de</strong> A (c’est une image<br />
virtuelle) et le miroir plan est un système optique rigoureusement stigmatique.<br />
La relation <strong>de</strong> conjugaison du miroir plan s’écrit :<br />
HA + HA′ = 0<br />
(les distances algébriques sont positives lorsqu’elles sont mesurées <strong>dans</strong> le sens <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong><br />
la lumière inci<strong>de</strong>nte).<br />
Remarquons que la relation <strong>de</strong> conjugaison reste valable <strong>dans</strong> le cas d’un objet virtuel réalisable en<br />
éclairant le miroir avec <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons convergents (figure 8.3.). L’image A’ est alors réelle.<br />
⊕<br />
Figure 8.3. : Image réelle d’un objet virtuel<br />
4) Cas <strong><strong>de</strong>s</strong> objets étendus, grandissement<br />
A<br />
i<br />
-i<br />
A’<br />
système optique<br />
Chacun <strong><strong>de</strong>s</strong> points d’un objet étendu (i.e. non ponctuel) émet <strong>de</strong> la lumière, l’image d’un objet<br />
étendu s’obtient en construisant l’image <strong>de</strong> chaque point, ou lorsque cela est possible <strong>de</strong> certains<br />
points particuliers.<br />
H<br />
I<br />
H<br />
-i<br />
A<br />
A’
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 3/16<br />
Exemple :<br />
Dans le cas <strong>de</strong> l’image d’un objet rectiligne AB donnée par un miroir plan, le tracé <strong>de</strong> l’image<br />
s’obtient comme en figure 8.4.<br />
A<br />
B<br />
Figure 8.4. : Construction <strong>de</strong> l’image d’un objet étendu donnée par un miroir plan<br />
On appelle grandissement du système optique et on note γ le rapport algébrique <strong>de</strong> la taille <strong>de</strong><br />
l’image sur la taille <strong>de</strong> l’objet :<br />
AB ′ ′<br />
γ ≡<br />
AB<br />
Exemple :<br />
Dans le cas du miroir plan, γ = AB ′ ′ AB=+<br />
1,<br />
l’image est donc « droite » (i.e. non-renversée) et <strong>de</strong><br />
même taille que l’objet.<br />
III. INTRODUCTION AUX ABERRATIONS : L’EXEMPLE DU DIOPTRE PLAN<br />
1) Aberrations géométriques et stigmatisme approché<br />
Nous savons <strong>de</strong>puis le lycée qu’un dioptre plan n’est pas un système optique stigmatique.<br />
Considérons en effet un seau rempli d’eau <strong>dans</strong> le fond duquel est posé une bille: l’image (virtuelle)<br />
<strong>de</strong> la bille est différente pour différents observateurs 3 (figure 8.5.) . Tous les rayons lumineux issus<br />
<strong>de</strong> l’objets ne convergent donc pas en une image unique : c’est le phénomène d’aberrations<br />
géométriques.<br />
O1<br />
A′<br />
2<br />
A′<br />
1<br />
Figure 8.5. : Dioptre plan<br />
Ceci est bien visible si l’on <strong>de</strong>man<strong>de</strong> à un logiciel <strong>de</strong> tracer plusieurs <strong>images</strong> issues d’un objet<br />
ponctuel plongé <strong>dans</strong> l’eau (figure 8.6.a.), en faisant varier l’angle d’inci<strong>de</strong>nce sur le dioptre <strong>de</strong> 0 à<br />
40°. Si on fait varier l’angle d’inci<strong>de</strong>nce sur une plage plus faible, <strong>de</strong> 0 à 20°, la séparation entre les<br />
différentes <strong>images</strong> s’amenuise (figure 8.6.b.). Enfin, lorsque la plage <strong>de</strong> variation <strong>de</strong> l’angle est 0° -<br />
3 là encore, la symétrie <strong>de</strong> révolution du problème permet <strong>de</strong> connaître l’axe sur lequel se trouvent les <strong>images</strong>.<br />
H<br />
I<br />
A<br />
B’<br />
A’<br />
O2
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 4/16<br />
air<br />
air<br />
air<br />
eau<br />
eau<br />
eau<br />
i<br />
A’<br />
A<br />
A<br />
A<br />
Figure 8.6.a. : Dioptre air-eau, rayons issus d’un objet A<br />
Figure 8.6.b. : Dioptre air-eau<br />
Figure 8.6.c. : Dioptre air-eau<br />
i ∈ [ 0, 40°<br />
] (échelle horizontale dilatée)<br />
i ∈ [ 0, 20°<br />
] (échelle horizontale dilatée)<br />
i ∈ [ 0,10°<br />
] (échelle horizontale dilatée)<br />
Figure 8.6. : Aberrations géométriques et stigmatisme approché <strong>dans</strong> le cas du dioptre plan
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 5/16<br />
10°, la séparation entre les <strong>images</strong> n’est plus perceptible : le dioptre plan présente donc un<br />
stigmatisme approché restreint aux petits angles (figure 8.6.c.).<br />
Remarque :<br />
Ce domaine <strong>de</strong> validité du stigmatisme du dioptre plan coïnci<strong>de</strong> avec l’approximation géométrique<br />
sin i tan i i i en radian<br />
<strong><strong>de</strong>s</strong> petits angles, <strong>dans</strong> laquelle : ( )<br />
2) Aberrations chromatiques<br />
Nous avons vu au chapitre précé<strong>de</strong>nt que, <strong>dans</strong> un milieu dispersif, l’indice optique dépend <strong>de</strong> la<br />
longueur d’on<strong>de</strong>. Dans le cas d’un dioptre plan <strong>dans</strong> son domaine <strong>de</strong> stigmatisme approché, et plus<br />
généralement pour un système optique quelconque <strong>dans</strong> ces conditions, il y a donc une image par<br />
longueur d’on<strong>de</strong>: c’est le phénomène d’aberrations chromatiques (figure 8.7.).<br />
A′<br />
A<br />
R A′ J A′B<br />
i<br />
Rouge<br />
Jaune Bleu<br />
air n = 1<br />
verre n > n > n<br />
B J R<br />
Figure 8.7. : Aberrations chromatiques <strong>dans</strong> le cas du dioptre plan<br />
IV. MIROIRS SPHERIQUES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS<br />
1) Miroirs<br />
Un miroir est une surface à fort pouvoir réfléchissant, réfléchissant plus <strong>de</strong> 50% <strong>de</strong> l’énergie<br />
lumineuse inci<strong>de</strong>nte. Il est réalisé en déposant par évaporation sous vi<strong>de</strong> une fine couche métallique<br />
(aluminium, argent ou or).<br />
Un miroir sphérique est un miroir réalisé à partir d’une portion <strong>de</strong> sphère, le rayon algébrique<br />
R ≡ SC <strong>de</strong> la sphère est appelé rayon <strong>de</strong> courbure du miroir (C est le centre <strong>de</strong> la sphère, et l’axe<br />
est orienté <strong>dans</strong> le sens <strong>de</strong> propagation <strong>de</strong> la lumière inci<strong>de</strong>nte). Selon que le côté intérieur ou<br />
extérieur <strong>de</strong> la sphère est recouvert d’une couche réfléchissante, le miroir sphérique est dit concave 4<br />
ou convexe (figures 8.8.).<br />
4 « cave » = creux<br />
⊕<br />
C<br />
S<br />
S C<br />
Miroir concave<br />
Miroir convexe<br />
(R0)<br />
Figure 8.8. : Miroirs sphériques
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 6/16<br />
2) Approximation <strong>de</strong> Gauss<br />
Comme <strong>dans</strong> le cas du dioptre plan, un miroir sphérique n’est pas rigoureusement stigmatique : à<br />
cause d’aberrations géométriques, un objet ponctuel n’admet pas d’image ponctuelle, i.e. il n’existe<br />
pas <strong>de</strong> relation <strong>de</strong> conjugaison (figure 8.9.a.). Mais, lorsque nous restreignons l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
rayons inci<strong>de</strong>nts à <strong>de</strong> faibles inci<strong>de</strong>nces, nous constatons que le miroir sphérique présente un<br />
stigmatisme approché (figure 8.9.b.). Nous n’avons pas à nous inquiéter <strong><strong>de</strong>s</strong> aberrations<br />
chromatiques, les indices optiques n’intervenant pas <strong>dans</strong> les lois <strong>de</strong> la réflexion.<br />
A<br />
Figure 8.9.a. : Astigmatisme d’un miroir sphérique<br />
convexe<br />
S<br />
Figure 8.9.b. : Stigmatisme approché du même miroir<br />
Lorsqu’un système optique quelconque présente une symétrie <strong>de</strong> révolution (dont l’axe est appelé<br />
axe optique), on généralise la condition <strong><strong>de</strong>s</strong> petits angles par la condition <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons paraxiaux,<br />
aussi appelée approximation <strong>de</strong> Gauss :<br />
Un système optique centré présente un stigmatisme approché si les rayons inci<strong>de</strong>nts sont paraxiaux,<br />
i.e. peu inclinés par rapport à l’axe optique et peu éloignés <strong>de</strong> l’axe optique.<br />
En pratique, on empêche les rayons indésirables <strong>de</strong> nuire à la ponctualité <strong>de</strong> l’image en<br />
diaphragmant le faisceau inci<strong>de</strong>nt (figure 8.10.). On réduit <strong>de</strong> fait inévitablement la luminosité <strong>de</strong><br />
l’image.<br />
A<br />
Figure 8.10. : Réalisation pratique d’une image ponctuelle avec un miroir sphérique concave<br />
3) Première relation <strong>de</strong> conjugaison<br />
C<br />
Plaçons nous <strong>dans</strong> l’approximation <strong>de</strong> Gauss et montrons qu’il existe une relation <strong>de</strong> conjugaison<br />
univoque permettant <strong>de</strong> trouver la position <strong>de</strong> l’image en fonction <strong>de</strong> celle <strong>de</strong> l’objet (figure 8.11.).<br />
A<br />
I<br />
S<br />
C S<br />
A’<br />
A’<br />
C
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 7/16<br />
α π , IH SC<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊕<br />
Figure 8.11. : Notations et orientations utilisées pour montrer la relation <strong>de</strong><br />
conjugaison du miroir sphérique<br />
Comme α π , sinα tanα<br />
α d’où AI AH , les points H et S sont confondus au premier<br />
ordre. Les sommes <strong><strong>de</strong>s</strong> angles <strong>dans</strong> les triangles AIC et A’IC sont égales à π :<br />
α − i+ π − ω = π ⇒ α = i+<br />
ω<br />
π − α′ + j+ ω = π ⇒ α′ = j+ ω =− i+<br />
ω<br />
Il vient, en sommant ces <strong>de</strong>ux relations :<br />
2ω = α′ + α<br />
Dans l’approximation <strong><strong>de</strong>s</strong> petits angles, les angles sont assimilables à leur tangente :<br />
HI HI HI<br />
2 = +<br />
CS A′ S AS<br />
soit, en simplifiant par HI et en multipliant par –1 :<br />
1 1 2<br />
+ =<br />
SA′ SA R<br />
Nous avons donc montré que, <strong>dans</strong> les conditions <strong>de</strong> Gauss, il existe une et une seule image A′<br />
associée à un point objet A situé sur l’axe optique. Cette relation reste valable pour les miroirs<br />
sphériques convexes ainsi que pour <strong><strong>de</strong>s</strong> objets virtuels, à condition <strong>de</strong> respecter les conventions<br />
algébriques. Remarquons que nous retrouvons la relation <strong>de</strong> conjugaison du miroir plan en faisant<br />
tendre le rayon <strong>de</strong> courbure du miroir vers l’infini.<br />
4) Foyers principaux<br />
a. Foyer principal image, vergence<br />
Par définition, le foyer principal image d’un miroir, noté F′, est l’image d’un point situé à l’infini<br />
sur l’axe optique (figure 8.12.). Il vient, d’après la relation trouvée <strong>dans</strong> le paragraphe précé<strong>de</strong>nt, en<br />
faisant tendre SA vers −∞ :<br />
f ′ ≡ SF′ = R 2<br />
Le foyer principal image est donc situé à mi chemin entre S et C. La distance f ′ est appelée<br />
distance focale du miroir, un système optique <strong>de</strong> distance focale positive (i.e. pour un miroir R > 0,<br />
donc concave) est dit convergent, un miroir <strong>de</strong> distance focale négative (i.e. pour un miroir R < 0,<br />
donc convexe) est dit divergent.<br />
En fonction <strong>de</strong> la distance focale du miroir sphérique, la première relation <strong>de</strong> conjugaison <strong>de</strong>vient :<br />
1 1 1<br />
+ =<br />
SA′ SA f ′<br />
A la place <strong>de</strong> la distance focale, les opticiens utilisent souvent la vergence, définie comme l’inverse<br />
<strong>de</strong> la distance focale :<br />
i<br />
A’
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 8/16<br />
1<br />
V ≡ qui s’exprime en m<br />
f ′ -1 , ou dioptries (δ ).<br />
b. Foyer principal objet<br />
Le foyer principal objet F du miroir est par définition la position d’un objet ponctuel sur l’axe<br />
optique ayant son image à l’infini. En vertu du principe <strong>de</strong> retour inverse <strong>de</strong> la lumière, F et F′<br />
sont confondus.<br />
5) Deuxième relation <strong>de</strong> conjugaison : Grandissement du miroir sphérique<br />
Pour déterminer la position <strong>de</strong> l’image d’un point situé en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> l’axe optique, nous avons<br />
besoin d’une <strong>de</strong>uxième relation. Dans l’approximation <strong>de</strong> Gauss, nous savons qu’il existe une<br />
image unique B′ d’un point B : il nous suffit donc <strong>de</strong> trouver le point d’intersection <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux rayons<br />
particuliers réfléchis par le miroir pour obtenir la position <strong>de</strong> cette image.<br />
Par définition du foyer principal image, le rayon issu <strong>de</strong> B et parallèle à l’axe optique est réfléchi en<br />
direction <strong>de</strong> F′. De plus, le rayon issu <strong>de</strong> B et passant par le centre <strong>de</strong> courbure du miroir sphérique<br />
C frappe le miroir avec un angle d’inci<strong>de</strong>nce nul : il est donc réfléchi en direction <strong>de</strong> C (figure<br />
8.13.).<br />
⊕<br />
vers A<br />
⊕<br />
⊕<br />
B<br />
A<br />
Figure 8.12. : Foyer principal image<br />
α<br />
Figure 8.13. : Construction <strong>de</strong> l’image d’un point en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> l’axe optique<br />
Les triangles CAB et CA′ B′<br />
étant semblables, le grandissement du miroir sphérique s’écrit :<br />
C<br />
α<br />
A’<br />
B’<br />
C<br />
F’<br />
S<br />
S
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 9/16<br />
vers B<br />
vers A<br />
α<br />
AB ′ ′ CA′<br />
γ ≡ =<br />
AB CA<br />
C’est la <strong>de</strong>uxième relation <strong>de</strong> conjugaison. Dans l’exemple <strong>de</strong> la figure 8.13., le grandissement est<br />
négatif (l’image est renversée) et inférieur à 1 (l’image est plus petite que l’objet).<br />
Remarquons enfin que, lorsque nous faisons tendre la distance SA vers −∞ en maintenant l’angle<br />
α constant 5 , A′ tendra vers F′ et B′ se trouvera <strong>dans</strong> un plan perpendiculaire à l’axe optique et<br />
passant par F′, nommé plan focal image du miroir, constitué par l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> foyers <strong>images</strong><br />
secondaires, <strong>images</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> points situés à l’infini en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> l’axe optique (figure 8.14.). On a<br />
alors :<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊕<br />
AB ' '=− α f'<br />
C<br />
Plan focal<br />
image<br />
A’=F’<br />
α<br />
B’<br />
Figure 8.14. : Plan focal image<br />
6) Modélisation <strong><strong>de</strong>s</strong> miroirs sphériques<br />
Dans l’approximation <strong>de</strong> Gauss, comme nous l’avons vu au paragraphe 3, les surfaces utilisées <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
miroirs sont assimilables à la droite qui leur est tangente au point S, on choisit alors <strong>de</strong> les<br />
symboliser comme indiqué en figures 8.15.<br />
Une telle modélisation supprime toute in<strong>formation</strong> sur le rayon <strong>de</strong> courbure du miroir, elle n’est<br />
donc utilisable que si la position du foyer principal image est indiquée (ou, manière équivalente, la<br />
position du centre <strong>de</strong> courbure). En effet, c’est la seule in<strong>formation</strong> dont nous avons eu besoin au<br />
paragraphe précé<strong>de</strong>nt pour construire les <strong>images</strong> <strong>de</strong> sources ponctuelles (ou étendues, en les<br />
considérant comme un ensemble <strong>de</strong> sources ponctuelles indépendantes).<br />
axe<br />
optique S a.o. S<br />
F’ F’<br />
Miroir concave Miroir convexe<br />
Figure 8.15. : Symboles <strong><strong>de</strong>s</strong> miroirs sphériques<br />
5 Si on maintenait la distance AB constante, l’angle α tendrait vers zéro, nous voyons ici que seul l’angle d’observation<br />
à un sens physique lors d’une observation à l’infini (cas <strong><strong>de</strong>s</strong> objets en astronomie ou, comme nous le verrons, <strong><strong>de</strong>s</strong><br />
<strong>images</strong> en microscopie).<br />
S
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 10/16<br />
La construction <strong>de</strong> l’image d’un objet se fait alors facilement à partir <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux <strong><strong>de</strong>s</strong> trois rayons<br />
particuliers ainsi que <strong>de</strong> leur prolongement si cela est nécessaire (figures 8.16.).<br />
⊕<br />
B<br />
A<br />
⊕<br />
⊕<br />
C<br />
B′<br />
A′<br />
F′ = F<br />
Figure 8.16.a. : Construction d’une image<br />
donnée par un miroir convergent<br />
Figure 8.16.b. : Construction d’une image donnée par un miroir divergent<br />
V. LENTILLES SPHERIQUES MINCES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS<br />
Après cette étu<strong>de</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> systèmes optiques utilisant la réflexion, nous nous intéressons aux systèmes<br />
optiques utilisant la transmission : les lentilles.<br />
1) Définitions<br />
S<br />
ao ..<br />
B<br />
A<br />
a. Dioptre sphérique<br />
Un dioptre sphérique est une portion <strong>de</strong> sphère séparant <strong>de</strong>ux milieux transparents d’indices<br />
optiques différents (figure 8.17.a.). Leur étu<strong>de</strong> théorique détaillée, hors programme, n’est pas<br />
nécessaire à la compréhension <strong><strong>de</strong>s</strong> lentilles minces, <strong><strong>de</strong>s</strong> constatations expérimentales suffiront. Un<br />
dioptre sphérique présente un stigmatisme approché <strong>dans</strong> les conditions <strong>de</strong> Gauss (figure 8.17.b.).<br />
Tout comme le dioptre plan, le dioptre sphérique présente <strong><strong>de</strong>s</strong> aberrations chromatiques.<br />
Figure 8.17.a. : Dioptre sphérique Figure 8.17.b. : Stigmatisme approché du dioptre sphérique<br />
S<br />
B′<br />
A′<br />
F′ =<br />
F<br />
C<br />
ao ..
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 11/16<br />
b. Lentilles sphériques<br />
Une lentille sphérique est une association <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux dioptres sphériques, <strong>de</strong> rayons <strong>de</strong> courbure<br />
algébriques R1 ≡ CS 1 1 et R2 ≡ CS 2 2 . Elles peuvent être à bords minces ( SS 1 2 < 0 ) ou épais<br />
( SS 1 2 > 0 ) (figures 8.18.).<br />
C1<br />
S2<br />
e<br />
Figure 8.18.a. : Lentille à bords minces biconvexe Figure 8.18.b. : Lentille à bords épais biconcave<br />
2) Construction <strong>de</strong> l’image donnée par un lentille sphériques à bords minces<br />
a. Stigmatisme approché, foyer principal image<br />
Comme on s’y attendait étant donné le stigmatisme approché d’un dioptre sphérique, on constate<br />
expérimentalement qu’une lentille sphérique à bords minces présente un stigmatisme approché<br />
(figures 8.19.).<br />
Figure 8.19.a. : Astigmatisme d’une lentille sphérique<br />
à bords minces<br />
S1<br />
C2<br />
⊕<br />
Figure 8.19.b. : Stigmatisme approché d’une lentille sphérique<br />
à bords minces<br />
Tout comme <strong>dans</strong> le cas <strong><strong>de</strong>s</strong> miroirs, le point F’ vers lequel convergent <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons arrivant <strong>de</strong><br />
l’infini parallèlement à l’axe optique est appelé foyer principal image <strong>de</strong> la lentille. A cause <strong>de</strong> cette<br />
propriété <strong>de</strong> convergence, une lentille à bord minces est dite convergente.<br />
Remarque :<br />
D’après le principe <strong>de</strong> moindre temps, le fonctionnement d’une lentille peut être compris ainsi : On<br />
interpose sur les trajets <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons lumineux une couche d’un matériau transparent dont l’épaisseur<br />
est ajustée <strong>de</strong> manière à retar<strong>de</strong>r les rayons dont le parcours est le plus court, ainsi tous les rayons ont<br />
la même durée minimale <strong>de</strong> parcours jusqu’au point image. Les dioptres sphériques sont un bon<br />
compromis entre la qualité <strong>de</strong> l’image et la facilité <strong>de</strong> fabrication.<br />
b. Lentille mince<br />
axe optique<br />
Une lentille sphérique est dite mince si son épaisseur est très inférieure à ses rayons <strong>de</strong> courbure :<br />
e R, R<br />
1 2<br />
C1 S1 S2<br />
e<br />
C2<br />
⊕<br />
axe optique<br />
F’
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 12/16<br />
On peut alors négliger cette épaisseur ; le point d’intersection O <strong>de</strong> la lentille mince et <strong>de</strong> l’axe<br />
optique est appelé centre optique <strong>de</strong> la lentille mince. La modélisation d’une telle lentille est donnée<br />
en figure 8.19.<br />
La distance algébrique f ′ du centre optique au foyer principal objet est la distance focale <strong>de</strong> la<br />
lentille :<br />
f ′ ≡ OF′<br />
positive <strong>dans</strong> le cas d’une lentille convergente, et le plus souvent <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> quelques<br />
centimètres. On définit aussi la vergence <strong>de</strong> la lentille, égale à l’inverse <strong>de</strong> sa distance focale et<br />
exprimée en dioptries (δ ) :<br />
1<br />
V ≡<br />
f ′<br />
En vertu du principe <strong>de</strong> retour inverse <strong>de</strong> la lumière, il existe un point F, symétrique <strong>de</strong> F’ par<br />
rapport à O et nommé foyer principal objet, qui a la propriété suivante : la lentille donne d’un objet<br />
placé en F une image à l’infini.<br />
Figure 8.19. : Modélisation d’une lentille mince à bords minces<br />
c. Construction d’une image : rayons particuliers<br />
Nous constatons <strong>de</strong> plus que tout rayon passant par le centre optique <strong>de</strong> la lentille n’est pas dévié.<br />
Nous pouvons donc tracer géométriquement l’image d’un objet étendu AB perpendiculaire à l’axe<br />
optique en construisant l’image B’ <strong>de</strong> B grâce à <strong>de</strong>ux <strong><strong>de</strong>s</strong> trois rayons particuliers suivants :<br />
• Le rayon issu <strong>de</strong> B parallèlement à l’axe optique émerge <strong>de</strong> la lentille en passant par le foyer<br />
principal image F’.<br />
• Le rayon issu <strong>de</strong> B et passant par le centre optique O <strong>de</strong> la lentille n’est pas dévié.<br />
• Le rayon issu <strong>de</strong> B et passant par le foyer principal objet émerge <strong>de</strong> la lentille parallèlement à<br />
l’axe optique.<br />
La symétrie axiale du problème imposant à l’image A’ <strong>de</strong> A d’être sur l’axe optique, la position <strong>de</strong><br />
A’ se déduit <strong>de</strong> celle <strong>de</strong> B’ par projection sur l’axe optique (figure 8.20.).<br />
B<br />
A<br />
⊕<br />
F<br />
F<br />
O<br />
F’<br />
O<br />
Figure 8.20. : Construction <strong>de</strong> l’image B’ d’un objet ponctuel B<br />
Remarque :<br />
Tout comme <strong>dans</strong> le cas <strong><strong>de</strong>s</strong> miroirs, il suffit d’utiliser les prolongements <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons lorsque la<br />
construction n’est pas aussi immédiate (objet ou image virtuels).<br />
F’<br />
A’<br />
B’<br />
a.o.<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊕
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 13/16<br />
3) Lentilles à bords épais<br />
On constate qu’une lentille à bords épais à pour effet <strong>de</strong> faire diverger <strong><strong>de</strong>s</strong> rayons initialement<br />
parallèles (figures 8.21.). Pour cette raison, ces lentilles sont appelées divergentes.<br />
Figure 8.21.a. : Astigmatisme d’une lentille à bords épais Figure 8.21.b. : Stigmatisme approché d’une lentille à<br />
bords épais<br />
L’image d’un objet situé à l’infini sur l’axe optique est donc virtuelle. Si la lentille est mince, on la<br />
modélise comme indiqué en figure 8.22.<br />
Figure 8.22. : Modélisation d’une lentille mince à bords épais<br />
Sa distance focale est négative tout comme sa vergence. On généralise les constructions vues <strong>dans</strong><br />
le paragraphe précé<strong>de</strong>nt au cas <strong><strong>de</strong>s</strong> lentilles divergentes en prolongeant les rayons inci<strong>de</strong>nts et<br />
émergents (figure 8.23.).<br />
A<br />
B<br />
F’ F<br />
O<br />
F’ O F<br />
A’<br />
Figure 8.23. : Construction <strong>de</strong> l’image d’un objet étendu donnée par une lentille mince<br />
divergente<br />
Dans cet exemple, l’image est virtuelle, droite et plus petite que l’objet.<br />
B’<br />
F’<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊕
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 14/16<br />
4) Relations <strong>de</strong> conjugaison<br />
Cherchons les relations <strong>de</strong> conjugaison <strong>de</strong> la lentille mince, i.e. les relations algébriques permettant<br />
<strong>de</strong> trouver la position <strong>de</strong> l’image en fonction <strong>de</strong> celle <strong>de</strong> l’objet et <strong>de</strong> la distance focale <strong>de</strong> la lentille.<br />
Afin <strong>de</strong> fixer les idées, nous étudierons le cas d’une lentille convergente (figure 8.24.).<br />
A<br />
B<br />
F<br />
α<br />
Figure 8.24. : Notations pour l’établissement <strong><strong>de</strong>s</strong> relations <strong>de</strong> conjugaison<br />
Remarquons tout d’abord que les triangles OAB et OA’B’ sont semblables :<br />
AB ' ' OA'<br />
= (1)<br />
AB OA<br />
Il en est <strong>de</strong> même pour les triangles IOF’ et B’A’F’ :<br />
AB ' ' AF ' ' AB ' ' AF ' '<br />
= ⇔ = (2)<br />
OI OF ' AB OF '<br />
puisque OI = AB . Il vient, en combinant (1) et (2) :<br />
OA' A'F' A'O+ OF ' OA'<br />
= = = 1 −<br />
OA OF ' OF ' OF '<br />
1 1 1<br />
⇔ = −<br />
OA OA' OF '<br />
1 1 1 1<br />
⇔ − = = = V<br />
OA' OA OF ' f ′<br />
Ce résultat est la première relation <strong>de</strong> conjugaison <strong><strong>de</strong>s</strong> lentilles minces, qui donne la position <strong>de</strong> A’<br />
connaissant celle <strong>de</strong> A et la distance focale <strong>de</strong> la lentille.<br />
Nous voulons, <strong>de</strong> plus, pouvoir calculer la distance entre B’ et l’axe optique. Connaissant la<br />
position <strong>de</strong> A’ par la première formule <strong>de</strong> conjugaison et la taille <strong>de</strong> l’objet AB, la position <strong>de</strong> B se<br />
déduit du grandissement qui s’écrit, d’après (1) :<br />
AB ' ' OA'<br />
γ = =<br />
AB OA<br />
C’est la <strong>de</strong>uxième relation <strong>de</strong> conjugaison <strong><strong>de</strong>s</strong> lentilles minces. Ces <strong>de</strong>ux relations restent valables<br />
<strong>dans</strong> le cas d’un objet ou d’une image virtuelle, ainsi que pour une lentille divergente, à condition<br />
<strong>de</strong> respecter les conventions <strong>de</strong> signe.<br />
5) Cas d’un objet à l’infini en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> l’axe optique<br />
I<br />
J<br />
O<br />
Lorsque nous faisons tendre la distance OA vers −∞ en maintenant l’angle α constant (figure<br />
8.25.), A′ tend vers F′ et B′ se trouve <strong>dans</strong> un plan perpendiculaire à l’axe optique et passant par<br />
F’<br />
⊕<br />
⊕<br />
A’<br />
B’<br />
⊕
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 15/16<br />
F′, nommé plan focal image <strong>de</strong> la lentille, constitué par l’ensemble <strong><strong>de</strong>s</strong> foyers <strong>images</strong> secondaires,<br />
<strong>images</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> points situés à l’infini en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> l’axe optique. L’ objet AB étant <strong>de</strong> taille infinie, le<br />
grandissement n’a alors plus <strong>de</strong> signification physique et la <strong>de</strong>uxième relation <strong>de</strong> conjugaison doit<br />
être modifiée pour s’écrire en fonction <strong><strong>de</strong>s</strong> angles (figure 8.25). :<br />
FB ′ ′ = αOF′<br />
Figure 8.25. : Cas d’un objet à l’infini en <strong>de</strong>hors <strong>de</strong> l’axe optique<br />
6) Association <strong>de</strong> lentilles<br />
On réalise un doublet <strong>de</strong> lentilles en les accolant, i.e. en superposant leur centre optique :<br />
O = O = O (figure 8.26).<br />
1 2<br />
vers A<br />
vers B<br />
α<br />
B<br />
A<br />
Figure 8.26. : Doublet <strong>de</strong> lentilles minces<br />
La position <strong>de</strong> l’image A’ donnée par une lentille <strong>de</strong> distance focale f ′ 1 se trouve avec la première<br />
relation <strong>de</strong> conjugaison :<br />
1 1 1<br />
− =<br />
OA′<br />
OA f ′ 1<br />
Si on accole une <strong>de</strong>uxième lentille <strong>de</strong> distance focale f ′ 2 , la position <strong>de</strong> l’image finale A " sera<br />
donnée par la même relation <strong>de</strong> conjugaison, en prenant cette fois pour objet l’image donnée par la<br />
première lentille :<br />
1 1 1<br />
− =<br />
OA′′ OA′<br />
f ′ 2<br />
En additionnant ces <strong>de</strong>ux relations on obtient :<br />
1 1 1 1<br />
− = + = V1 + V2<br />
OA′′<br />
OA f ′ f ′<br />
O<br />
O<br />
1 2<br />
1' F<br />
2' F<br />
B’<br />
Plan focal<br />
image<br />
A’=F’<br />
⊕<br />
⊕<br />
⊕
PCSI CHAPITRE 8 : FORMATION DES IMAGES DANS L’APPROXIMATION DE GAUSS 16/16<br />
Un doublet <strong>de</strong> lentilles minces accolées est équivalent à une seule lentille <strong>de</strong> vergence égale à la<br />
somme <strong><strong>de</strong>s</strong> vergences.<br />
Si les <strong>de</strong>ux lentilles ne sont pas accolées, il suffit alors <strong>de</strong> calculer la position <strong>de</strong> l’image finale en<br />
prenant pour objet <strong>de</strong> la <strong>de</strong>uxième lentille l’image donnée par la première.