Mouvement d'un point matériel dans une cuvette sphérique On ...

PROBLEME - Mouvement d’un point matériel dans une cuvette sphérique
On considère un palet assimilable à un point matériel
M, de masse m au fond d’une cuvette sphérique de
rayon R=1m. Le champ de gravité de norme g, est
vertical descendant.Les frottements sont négligeables.
A – Mouvement sans vitesse initiale
On lâche le palet sans vitesse, sa position angulaire
faisant alors un angle avec la verticale.
1- Donner la condition sur pour que le contact
ne soit pas rompu dès le début du mouvement.
Par la suite on considère pour les applications
numériques que
2- Montrer que le mouvement est plan.
On repère la position du point M dans le plan de la trajectoire par l’angle polaire = (0z,푂푀 ⃗)
3- Etablir l’équation différentielle du mouvement vérifiée par t
4- Dans le cas des petits mouvements autour de la position d’équilibre stable, linéariser et résoudre
l’équation différentielle. Décrire qualitativement le mouvement. Donner l’expression de la période
T0 du mouvement et la calculer.
B – Mouvement avec vitesse initiale dans un plan vertical
Le palet est maintenant lancé avec une vitesse initiale horizontale 푣 ⃗ = 푣 푒 ⃗ depuis la position la plus
basse en A.
5- Montrer que le mouvement reste plan.
6- Si |푣 |est inférieure à une valeur critique 푣 , le mouvement est de même nature que lorsque la
bille est lachée sans vitesse initiale. Donner l’expression de 푣 .
7- Si |푣 |est supérieure à une valeur critique 푣 , le mouvement est révolutif : le palet effectue des
tours complets. Donner l’expression de 푣 .
8- Que se passe-t-il pour 푣 < |푣 | < 푣 ?
푔⃗
C – Mouvement avec vitesse initiale dans un plan horizontal
Le palet est enfin lancé d’une position caractérisée par 휃 ≠ 0,
avec une vitesse horizontale tangente à la sphère, de valeur 푣 .
Le mouvement n’est plus plan (sauf pour une vitesse initiale
que l’on va rechercher). Le repère le plus adapté est le repère
local des coordonnées sphériques (0,푒 ⃗,푒 ⃗, 푒 ⃗) et 푣⃗(0) = 푣 ⃗ .
On donne l’expression de la vitesse et l’accélération en coordonnées
sphériques :
푣⃗ = 푟̇ 푒 ⃗ + 푟휃̇ 푒 ⃗ + 푟 sin 휃 휑̇ 푒 ⃗
푎⃗ = 푟̈ − 푟휃̇ − 푟 sin 휃 휑̇ 푒 ⃗ + (2푟̇휃̇ + 푟휃̈ − 푟 sin 휃 cos 휃 휑̇ ) 푒 ⃗ + 1
푟 sin 휃
푑
푑푡 (푟 sin 휃 휑̇ ) 푒 ⃗
9- Montrer que la quantité sin 휃 휑̇ est une constante du mouvement. Donner la valeur de cette
constante en fonction des conditions initiales.
10- Montrer que l’énergie mécanique est une constante du mouvement. Donner la valeur de cette
constante en fonction des conditions initiales.
y
y
푔⃗
O
A
z
휃
R
M
푒 ⃗
O
A
z
푒 ⃗
휃
푒 ⃗
x
M
푒 ⃗
푒 ⃗
x

11- Déduire de la conservation de Em que 휃 est solution de l’équation :
휃̇ = 푓(휃) =
1 −
+
(cos 휃 − cos 휃 )
12- On souhaite montrer qu’il existe une valeur particulière 푣 de 푣 pour lequel le mouvement est
circulaire uniforme, dans le plan 휃(푡) = 휃 .
Pour cela, on pose 푢 = cos 휃, 푢 = cos 휃 . Réécrire l’équation de 푓(휃) de sorte que :
푓(휃) = 퐹(푢) = 푃(푢)
1 − 푢
où P(u) est une fonction polynomiale de degré 3 par rapport à u, à expliciter. Montrer que P(u)
n’admet que deux racines réelles dans l’intervalle ]-1,1[ dont l’une au moins est égale à 푢 .
Montrer que si 푢 est une racine double, le mouvement est circulaire uniforme dans le plan
휃(푡) = 휃 . En déduire la valeur de 푣 .
13- Décrire le mouvement pour 푣 > 푣 . On raisonnera qualitativement et on vérifiera la prévision par
l’analyse de P(u).