Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

3.1.2 Passage au discret 87
Théorème 3.5. Supposons que Ω induit un n-clustering sur S compatible et que de plus, si ω k i ∩ωl j =
∅ pour i, j ∈ [|1, q|] alors il existe un point x ∈ S k i ∩ Sl j .
Alors pour tout ¯ SA ∈ S/R S , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi ∩ S =
S k i ∈ ¯ SA Sk i .
Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe ¯ SA ∈ S/R S tel que
Pour établir ce résultat, il faut d’abord montrer le lemme suivant.
S k i ∈ ¯ SA
S k i = Ωi ∩ S.
Lemme 3.6. Soit i ∈ [|1, q|] et soit Ā ∈ PC/R PC . Avec les hypothèses du théorème 3.5, on a les
résultats suivants :
1. Soient A, B ∈ Ā. Alors (A ∩ S)/RS = (B ∩ S)/R S ;
2. ω k i ∈ Ā ⇐⇒ Sk i ∈ ¯ SA avec ¯ SA = (A ∩ S)/R S pour A ∈
Démonstration.
Ā quelconque.
1. Soient A, B ∈ Ā quelconques. Donc ∃r ∈ N, ∃{i1, .., ir} ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., kr) ∈ Π r t=1
tel que ∀m{1, .., r}, ω km
im ∩ωkm+1
im+1
= ∅ avec ωk1
i1
l’hypothèse du théorème 3.5, ω km
im ∩ωkm+1
im+1
On en déduit donc que (A ∩ S)/R S = (B ∩ S)/R S .
= A et ωkr
ir
= ∅ implique que S∩ωkm
im ∩ωkm+1
im+1
[|1, nit|]
= B. Par intersection avec S et par
= Skm
im ∩Skm+1 = ∅.
im+1
2. Soient A ∈ Ā et ¯ SA = (A∩S)/R S . D’après 1., la définition de ¯ SA est correcte car elle ne dépend
pas du choix de A ∈ Ā. Si ωk i ∈ Ā alors d’après 1., (ωk i ∩ S) = Sk i ∈ ¯ SA. Réciproquement, si
Sk i ∈ ¯ SA alors ∃r ∈ N, ∃{i1, .., ir} ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., kr) ∈ Πr t=1 [|1, nit|]
tel que ∀m{1, .., r}, S km
im
Or ∅ = S km
im
∩ Skm+1
im+1
∩ Skm+1
im+1
= S ∩ ωkm
im
= ∅ avec Sk1
i1 = Sk i = ωk i
∩ ωkm+1
im+1
⊂ ωkm
im
∩ S et ωkr
ir
∩ ωkm+1
im+1 d’où ωk i RPC A.
= A ∩ S.
Démonstration du théorème 3.5. Soit ¯ SA ∈ S/RS . Soit A ∈ ¯ SA et on note Ā = A/RPC . D’après
le théorème 3.3, pour un certain i ∈ [|1, q|], on a
ωk i ∈Ā ωk i = Ωi. Comme ωk i ∩ S = Sk i , par le
lemme 3.6 avec ¯ SA = (A ∩ S)/RS pour A ∈ Ā, on en déduit que Ωi ∩ S =
ωk i ∈Ā ωk i ∩ S =
ωk i ∈Ā Sk
i = Sk i ∈ ¯ SA Sk i .
Réciproquement, soit i ∈ [|1, q|], par le théorème 3.3 il existe Ā = A/RPC tel que
ωk i ∈Ā ωk i = Ωi.
En posant ¯ SA = (A ∩ S)/RS , on a :
Sk i ∈ ¯ SA Sk
i = ωk i ∈Ā Sk
i = ωk i ∈Ā ωk i ∩ S = Ωi ∩ S.
Le théorème précédent valide donc la méthode de décomposition en sous-domaines. En effet,
une composante connexe à support sur plusieurs pavés du découpage est reconstituée via la relation
d’équivalence R S à condition que l’hypothèse du théorème 3.3 soit vérifiée. Ainsi les partitions issues
des différents sous-domaines définissent une partition globale comme étant l’ensemble des points de
S couvrant chaque composante connexe Ωi de l’ensemble Ω, c’est-à-dire que chaque cluster correspond
à S ∩ Ωi.
Ce résultat est valide à condition de satisfaire l’hypothèse du théorème 3.5 d’intersection non vide
entre les clusters : ωk i ∩ ωl j = ∅ pour i, j ∈ [|1, q|].
Cependant deux problèmes restent ouverts avant de présenter une stratégie de parallélisation.
Le premier concerne le paramètre de l’affinité gaussienne qui doit être fixée de manière automatique.
Pour cela, les résultats théoriques et heuristiques des chapitres 1 et 2 permettent de définir un choix
en conservant la propriété géométrique de clustering. Le deuxième problème concerne le choix du
nombre de classes k. En effet, la décomposition en sous-domaines implique que le nombre de clusters