Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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3.1.2 Passage au discr<strong>et</strong> 87<br />
Théorème 3.5. Supposons que Ω induit un n-clustering sur S compatible <strong>et</strong> que <strong>de</strong> plus, si ω k i ∩ωl j =<br />
∅ pour i, j ∈ [|1, q|] alors il existe un point x ∈ S k i ∩ Sl j .<br />
Alors pour tout ¯ SA ∈ S/R S , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi ∩ S = <br />
S k i ∈ ¯ SA Sk i .<br />
Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe ¯ SA ∈ S/R S tel que <br />
Pour établir ce résultat, il faut d’abord montrer le lemme suivant.<br />
S k i ∈ ¯ SA<br />
S k i = Ωi ∩ S.<br />
Lemme 3.6. Soit i ∈ [|1, q|] <strong>et</strong> soit Ā ∈ PC/R PC . Avec les hypothèses du théorème 3.5, on a les<br />
résultats suivants :<br />
1. Soient A, B ∈ Ā. Alors (A ∩ S)/RS = (B ∩ S)/R S ;<br />
2. ω k i ∈ Ā ⇐⇒ Sk i ∈ ¯ SA avec ¯ SA = (A ∩ S)/R S pour A ∈<br />
Démonstration.<br />
Ā quelconque.<br />
1. Soient A, B ∈ Ā quelconques. Donc ∃r ∈ N, ∃{i1, .., ir} ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., kr) ∈ Π r t=1<br />
tel que ∀m{1, .., r}, ω km<br />
im ∩ωkm+1<br />
im+1<br />
= ∅ avec ωk1<br />
i1<br />
l’hypothèse du théorème 3.5, ω km<br />
im ∩ωkm+1<br />
im+1<br />
On en déduit donc que (A ∩ S)/R S = (B ∩ S)/R S .<br />
= A <strong>et</strong> ωkr<br />
ir<br />
= ∅ implique que S∩ωkm<br />
im ∩ωkm+1<br />
im+1<br />
[|1, nit|]<br />
= B. Par intersection avec S <strong>et</strong> par<br />
= Skm<br />
im ∩Skm+1 = ∅.<br />
im+1<br />
2. Soient A ∈ Ā <strong>et</strong> ¯ SA = (A∩S)/R S . D’après 1., <strong>la</strong> définition <strong>de</strong> ¯ SA est correcte car elle ne dépend<br />
pas du choix <strong>de</strong> A ∈ Ā. Si ωk i ∈ Ā alors d’après 1., (ωk i ∩ S) = Sk i ∈ ¯ SA. Réciproquement, si<br />
Sk i ∈ ¯ SA alors ∃r ∈ N, ∃{i1, .., ir} ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., kr) ∈ Πr t=1 [|1, nit|]<br />
tel que ∀m{1, .., r}, S km<br />
im<br />
Or ∅ = S km<br />
im<br />
∩ Skm+1<br />
im+1<br />
∩ Skm+1<br />
im+1<br />
= S ∩ ωkm<br />
im<br />
= ∅ avec Sk1<br />
i1 = Sk i = ωk i<br />
∩ ωkm+1<br />
im+1<br />
⊂ ωkm<br />
im<br />
∩ S <strong>et</strong> ωkr<br />
ir<br />
∩ ωkm+1<br />
im+1 d’où ωk i RPC A.<br />
= A ∩ S.<br />
Démonstration du théorème 3.5. Soit ¯ SA ∈ S/RS . Soit A ∈ ¯ SA <strong>et</strong> on note Ā = A/RPC . D’après<br />
le théorème 3.3, pour un certain i ∈ [|1, q|], on a <br />
ωk i ∈Ā ωk i = Ωi. Comme ωk i ∩ S = Sk i , par le<br />
lemme 3.6 avec ¯ SA = (A ∩ S)/RS pour A ∈ Ā, on en déduit que Ωi ∩ S = <br />
ωk i ∈Ā ωk i ∩ S =<br />
<br />
ωk i ∈Ā Sk <br />
i = Sk i ∈ ¯ SA Sk i .<br />
Réciproquement, soit i ∈ [|1, q|], par le théorème 3.3 il existe Ā = A/RPC tel que <br />
ωk i ∈Ā ωk i = Ωi.<br />
En posant ¯ SA = (A ∩ S)/RS , on a : <br />
Sk i ∈ ¯ SA Sk <br />
i = ωk i ∈Ā Sk <br />
i = ωk i ∈Ā ωk i ∩ S = Ωi ∩ S.<br />
Le théorème précé<strong>de</strong>nt vali<strong>de</strong> donc <strong>la</strong> métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> décomposition en sous-domaines. En eff<strong>et</strong>,<br />
une composante connexe <strong>à</strong> support sur plusieurs pavés du découpage est reconstituée via <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion<br />
d’équivalence R S <strong>à</strong> condition que l’hypothèse du théorème 3.3 soit vérifiée. Ainsi les partitions issues<br />
<strong>de</strong>s différents sous-domaines définissent une partition globale comme étant l’ensemble <strong>de</strong>s points <strong>de</strong><br />
S couvrant chaque composante connexe Ωi <strong>de</strong> l’ensemble Ω, c’est-<strong>à</strong>-dire que chaque cluster correspond<br />
<strong>à</strong> S ∩ Ωi.<br />
Ce résultat est vali<strong>de</strong> <strong>à</strong> condition <strong>de</strong> satisfaire l’hypothèse du théorème 3.5 d’intersection non vi<strong>de</strong><br />
entre les clusters : ωk i ∩ ωl j = ∅ pour i, j ∈ [|1, q|].<br />
Cependant <strong>de</strong>ux problèmes restent ouverts avant <strong>de</strong> présenter une stratégie <strong>de</strong> parallélisation.<br />
Le premier concerne le paramètre <strong>de</strong> l’affinité gaussienne qui doit être fixée <strong>de</strong> manière automatique.<br />
Pour ce<strong>la</strong>, les résultats théoriques <strong>et</strong> heuristiques <strong>de</strong>s chapitres 1 <strong>et</strong> 2 perm<strong>et</strong>tent <strong>de</strong> définir un choix<br />
en conservant <strong>la</strong> propriété géométrique <strong>de</strong> clustering. Le <strong>de</strong>uxième problème concerne le choix du<br />
nombre <strong>de</strong> c<strong>la</strong>sses k. En eff<strong>et</strong>, <strong>la</strong> décomposition en sous-domaines implique que le nombre <strong>de</strong> clusters