Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

86 Parallélisation de la classification spectrale
Théorème 3.3. Supposons que les éléments de la partition du pavé Ci ∩ Ω =
i ∈ [|1, q|] sont exactement les composantes connexes de Ci ∩ Ω.
Alors pour tout Ā ∈ PC/RPC , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi =
ωk i ∈Ā ωk i .
Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe Ā ∈ PC/RPC tel que
ω k i ∈Ā
k ωk i
ω k i = Ωi.
pour chaque
Pour établir la preuve de la proposition 3.3, il faut d’abord introduire un lemme technique.
Lemme 3.4. Soient i ∈ [|1, q|] et Ā ∈ PCi /RPC . Alors pour tout ω ∈ Ā et p ∈ [|1, n|], on a :
ω ∈ Ā, ω ∩ Ωp = ∅ =⇒ ∀ω ′ ∈ Ā, ω′ ⊂ Ωp.
Démonstration. Soient i ∈ [|1, q|] tel que Ā ∈ PCi /RPC et ω ∈ Ā avec Ωp ∩ ω = ∅. Par l’hypothèse
(3.1), ω étant connexe, on a ω ⊂ Ωp. Soit maintenant ω ′ ∈ Ā. Par la définition de RPC ,
∃r ∈ N, , ∃{i1, .., ir} ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., kr) ∈ Π r t=1 [|1, nit|] tel que ∀m ∈ [|1, r − 1|], ω km
im
∅ avec ω k1
i1
∩ ωkm+1
im+1 =
= ω et ωkr
ir = ω′ . Comme ω k1 ∩ ωk2 ⊂ ωk1
i1 i2 i1 = ω ⊂ Ωp, on en déduit que ω k2
i2 ∩ Ωp = ∅ et
donc, comme précédemment que ω k2
i2 ⊂ Ωp. Par une récurrence directe, on montre donc que pour
tout m ∈ [|1, r − 1|], ω km
im ⊂ Ωp et donc ω ′ ⊂ Ωp. Donc pour tout ω ′ ∈ Ā, on a ω′ ⊂ Ωp.
Ce lemme montre que toute classe d’équivalence est incluse dans une seule composante connexe
Ωp. Ainsi le théorème 3.3 montre qu’elle correspond exactement à un pavage de la composante
connexe.
Démonstration du théorème 3.3. Soit Ā ∈ Ω/RPC . On note A =
ωk i ∈Ā ωk i . Par le lemme 3.4, on
sait déjà qu’il existe p tel que A ⊂ Ωp. Supposons que A = Ωp, alors il existe x ∈ Ωp\A. Par
le clustering effectué sur Ω, il existe un ωk i tel que x ∈ ωk i . De plus, ωk i et Ωp étant connexes
avec Ωp ∩ ωk i = ∅, car x ∈ Ωp ∩ ωk i , on a donc ωk i ⊂ Ωp. Soient B l’ensemble défini par B =
{ω k i tel que ω k i ∩ A = ∅ et ω k i ∩ Ωp = ∅} et l’ouvert B = ∪ωk i ∈Bωk i , B = ∅. Alors B ⊂ Ωp et on a
B ∩ A = ∅ et Ωp = A ∪ B. Or A et B sont fermés pour la topologie induite sur Ωp et disjoints ce
qui est impossible car Ωp est connexe. Donc Ωp = A.
Réciproquement, soit une des composantes connexes Ωp et soit x ∈ Ωp. Alors par recouvrement,
il existe un ensemble ωk i tel que x ∈ ωk i et donc par ce qui précède Ωp =
ω.
Donc à partir d’une décomposition en sous-domaines d’un ensemble de données S, les différentes
partitions issues des sous-domaines seront connectées grâce à la relation d’équivalence et au résultat
du théorème 3.3.
3.1.2 Passage au discret
Soit S l’ensemble des points de l’ouvert Ω = n
i=1 Ωi et soit Si l’ensemble des points sur chaque
pavé Ci pour i ∈ {1, .., q}, Si = Ci ∩ S, ∀i ∈ {1, .., q}. On note S k i les éléments de la partition de Si
et S = {S k i , i ∈ [|1, q|], k ∈ [|1, ni|]}. On suppose que pour tout k et tout i ∈ [|1, q|] S k i = ∅.
Dès maintenant et dans toute la suite, on notera par (ω k i )k pour chaque i ∈ [|1, q|] les composantes
connexes de Ci ∩ Ω. D’après le théorème 3.3, on sait que à partir des (ω k i )i,k et de la relation
R PC , on peut reconstituer les composantes connexes Ωi. Maintenant, on propose un équivalent du
théorème 3.3 pour permettre de regrouper les ensembles de points S k i à l’aide de la relation RS . En
outre, si l’ouvert Ci ∩ Ω induit un clustering sur Si compatible au sens de la définition 2.1, appelé
aussi clustering idéal, alors pour chaque i ∈ [|1, q|], les éléments Sk i de la partition du pavé Si sont
exactement les points appartenant aux composantes connexes de Ci ∩ Ω, c’est-à-dire Sk i = ωk i ∩ Si.
ω∈ω k i