Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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86 Parallélisation <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong><br />
Théorème 3.3. Supposons que les éléments <strong>de</strong> <strong>la</strong> partition du pavé Ci ∩ Ω = <br />
i ∈ [|1, q|] sont exactement les composantes connexes <strong>de</strong> Ci ∩ Ω.<br />
Alors pour tout Ā ∈ PC/RPC , il existe i ∈ {1, ..n} tel que Ωi = <br />
ωk i ∈Ā ωk i .<br />
Réciproquement, pour tout i ∈ {1, .., n}, il existe Ā ∈ PC/RPC tel que <br />
ω k i ∈Ā<br />
k ωk i<br />
ω k i = Ωi.<br />
pour chaque<br />
Pour établir <strong>la</strong> preuve <strong>de</strong> <strong>la</strong> proposition 3.3, il faut d’abord introduire un lemme technique.<br />
Lemme 3.4. Soient i ∈ [|1, q|] <strong>et</strong> Ā ∈ PCi /RPC . Alors pour tout ω ∈ Ā <strong>et</strong> p ∈ [|1, n|], on a :<br />
ω ∈ Ā, ω ∩ Ωp = ∅ =⇒ ∀ω ′ ∈ Ā, ω′ ⊂ Ωp.<br />
Démonstration. Soient i ∈ [|1, q|] tel que Ā ∈ PCi /RPC <strong>et</strong> ω ∈ Ā avec Ωp ∩ ω = ∅. Par l’hypothèse<br />
(3.1), ω étant connexe, on a ω ⊂ Ωp. Soit maintenant ω ′ ∈ Ā. Par <strong>la</strong> définition <strong>de</strong> RPC ,<br />
∃r ∈ N, , ∃{i1, .., ir} ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., kr) ∈ Π r t=1 [|1, nit|] tel que ∀m ∈ [|1, r − 1|], ω km<br />
im<br />
∅ avec ω k1<br />
i1<br />
∩ ωkm+1<br />
im+1 =<br />
= ω <strong>et</strong> ωkr<br />
ir = ω′ . Comme ω k1 ∩ ωk2 ⊂ ωk1<br />
i1 i2 i1 = ω ⊂ Ωp, on en déduit que ω k2<br />
i2 ∩ Ωp = ∅ <strong>et</strong><br />
donc, comme précé<strong>de</strong>mment que ω k2<br />
i2 ⊂ Ωp. Par une récurrence directe, on montre donc que pour<br />
tout m ∈ [|1, r − 1|], ω km<br />
im ⊂ Ωp <strong>et</strong> donc ω ′ ⊂ Ωp. Donc pour tout ω ′ ∈ Ā, on a ω′ ⊂ Ωp.<br />
Ce lemme montre que toute c<strong>la</strong>sse d’équivalence est incluse dans une seule composante connexe<br />
Ωp. Ainsi le théorème 3.3 montre qu’elle correspond exactement <strong>à</strong> un pavage <strong>de</strong> <strong>la</strong> composante<br />
connexe.<br />
Démonstration du théorème 3.3. Soit Ā ∈ Ω/RPC . On note A = <br />
ωk i ∈Ā ωk i . Par le lemme 3.4, on<br />
sait déj<strong>à</strong> qu’il existe p tel que A ⊂ Ωp. Supposons que A = Ωp, alors il existe x ∈ Ωp\A. Par<br />
le clustering effectué sur Ω, il existe un ωk i tel que x ∈ ωk i . De plus, ωk i <strong>et</strong> Ωp étant connexes<br />
avec Ωp ∩ ωk i = ∅, car x ∈ Ωp ∩ ωk i , on a donc ωk i ⊂ Ωp. Soient B l’ensemble défini par B =<br />
{ω k i tel que ω k i ∩ A = ∅ <strong>et</strong> ω k i ∩ Ωp = ∅} <strong>et</strong> l’ouvert B = ∪ωk i ∈Bωk i , B = ∅. Alors B ⊂ Ωp <strong>et</strong> on a<br />
B ∩ A = ∅ <strong>et</strong> Ωp = A ∪ B. Or A <strong>et</strong> B sont fermés pour <strong>la</strong> topologie induite sur Ωp <strong>et</strong> disjoints ce<br />
qui est impossible car Ωp est connexe. Donc Ωp = A.<br />
Réciproquement, soit une <strong>de</strong>s composantes connexes Ωp <strong>et</strong> soit x ∈ Ωp. Alors par recouvrement,<br />
il existe un ensemble ωk i tel que x ∈ ωk i <strong>et</strong> donc par ce qui précè<strong>de</strong> Ωp = <br />
ω.<br />
Donc <strong>à</strong> partir d’une décomposition en sous-domaines d’un ensemble <strong>de</strong> données S, les différentes<br />
partitions issues <strong>de</strong>s sous-domaines seront connectées grâce <strong>à</strong> <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion d’équivalence <strong>et</strong> au résultat<br />
du théorème 3.3.<br />
3.1.2 Passage au discr<strong>et</strong><br />
Soit S l’ensemble <strong>de</strong>s points <strong>de</strong> l’ouvert Ω = n<br />
i=1 Ωi <strong>et</strong> soit Si l’ensemble <strong>de</strong>s points sur chaque<br />
pavé Ci pour i ∈ {1, .., q}, Si = Ci ∩ S, ∀i ∈ {1, .., q}. On note S k i les éléments <strong>de</strong> <strong>la</strong> partition <strong>de</strong> Si<br />
<strong>et</strong> S = {S k i , i ∈ [|1, q|], k ∈ [|1, ni|]}. On suppose que pour tout k <strong>et</strong> tout i ∈ [|1, q|] S k i = ∅.<br />
Dès maintenant <strong>et</strong> dans toute <strong>la</strong> suite, on notera par (ω k i )k pour chaque i ∈ [|1, q|] les composantes<br />
connexes <strong>de</strong> Ci ∩ Ω. D’après le théorème 3.3, on sait que <strong>à</strong> partir <strong>de</strong>s (ω k i )i,k <strong>et</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion<br />
R PC , on peut reconstituer les composantes connexes Ωi. Maintenant, on propose un équivalent du<br />
théorème 3.3 pour perm<strong>et</strong>tre <strong>de</strong> regrouper les ensembles <strong>de</strong> points S k i <strong>à</strong> l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion RS . En<br />
outre, si l’ouvert Ci ∩ Ω induit un clustering sur Si compatible au sens <strong>de</strong> <strong>la</strong> définition 2.1, appelé<br />
aussi clustering idéal, alors pour chaque i ∈ [|1, q|], les éléments Sk i <strong>de</strong> <strong>la</strong> partition du pavé Si sont<br />
exactement les points appartenant aux composantes connexes <strong>de</strong> Ci ∩ Ω, c’est-<strong>à</strong>-dire Sk i = ωk i ∩ Si.<br />
ω∈ω k i