Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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84 Parallélisation de la classification spectrale particulières. Ainsi, le clustering spectral est appliqué sur des sous-domaines pour identifier les composantes connexes. Les sous-domaines sont définis de façon directe en divisant l’ensemble des données ponctuelles S en se servant de leurs coordonnées géométriques. Un partitionnement peut alors être extrait indépendamment et en parallèle sur chaque sous-ensemble. Puis, en vue d’une étape de regroupement des partitions locales issues des différents sous-domaines, le clustering spectral est appliqué sur un ensemble spécifique de données correspondant à une bande d’intersection le long des frontières du découpage géométrique des données. La connexion des clusters dont le support s’étend sur plusieurs sous-domaines sera assurée via une relation d’équivalence [86] : ∀xi1 , xi2 , xi3 ∈ S, Si xi1 , xi2 ∈ C1 et xi2 , xi3 ∈ C2 alors C 1 ∪ C 2 ⊂ P et xi1 , xi2 , xi3 , ∈ P (3.1) où S est l’ensemble des données, C 1 et C 2 deux clusters distincts et P un cluster plus grand dans lequel sont inclus C 1 et C 2 . 3.1.1 Etude dans le continu Considérons un ouvert Ω formé de n composantes connexes distinctes Ωi tel que : Ω = n Ωi avec Ωi ∩ Ωj = ∅, ∀i = j. i=1 En reprenant l’hypothèse développée au chapitre 2, on établit l’hypothèse suivante : Hypothèse 3.1. Les ouverts Ωi sont écartés d’une distance minimale notée ɛ telle que : inf i=j d(Ωi, Ωj) ≥ ɛ > 0. (3.2) On se donne un pavage par des fermés Ci de l’ouvert Ω ⊂ q i=0 Ci comme le représente la figure 3.1. Typiquement, les Ci représentent les sous-domaines dans la résolution parallèle. On ne suppose pas que Ci ∩ Cj = ∅ pour i = j. Figure 3.1 – Exemple de pavage d’un ouvert Ω On note ωk i k=1..ni les clusters issus du pavé Ci. Les ωk i sont pris comme des ensembles connexes et fermés pour la topologie induite sur Ω. La partition du pavage Ci ∩ Ω est notée : PCi = {ωk i , k ∈ {1, .., ni}} et on notera PC = {ωk i , i, k}. Le lien entre les clusters de deux pavés est défini par la relation d’équivalence suivante :
3.1.1 Etude dans le continu 85 (a) Exemple de pavage (b) Partition de C1 (c) Cas impossible de partition de C1 Figure 3.2 – Exemple de ω 1 1 RPC ω 1 2 Proposition 3.2. Soit O = {Ok i , i ∈ [|1, n|], k ∈ [|1, ni|]} une famille de sous-ensembles Ok i de Ω telle que Ok i ⊂ Ci, pour tout k ∈ [|1, ni|] (ni indiquant le nombre de sous-ensembles considérés dans chaque pavé Ci). On définit RO la relation suivante entre deux sous-ensembles Ok i et Ol j respectivement aux deux pavés Ci et Cj : O k i R O O l j ⇐⇒ ⎡ ⎢ ⎣ ∃r ∈ N, ∃{i1, .., ir} ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., kr) ∈ Π r t=1[|1, nit|] tel que ∀m{1, .., r − 1}, O km im ∩ Okm+1 im+1 = ∅ avec O k1 i1 = Ok i O kr ir = Ol j . ⎤ ⎥ ⎦ (3.3) Alors R O est une relation d’équivalence sur O. On notera O/R O l’ensemble des classes d’équivalence sur O. Démonstration. Cette relation est évidemment réflexive et symétrique. Montrons la transitivité de R O c’est-à-dire montrons que si O k i RO O l j et Ol j RO O s r alors O k i RO O s r avec i = j et k = l. Soient O k i RO O l j et Ol j RO O s r alors il existe deux entiers a1 et b1 tels que : O k i R O O l j ⇐⇒ O l jR O O s r ⇐⇒ ∃a1 ∈ N, ∃{i1, .., ia1 } ⊂ [|1, n|], ∃(k1, .., ka1 ) ∈ Πa1 t=1 [|1, nit|] tel que ∀m ∈ [|1, a1 − 1|], O km im ∩ Okm+1 im+1 = ∅ avec Ok1 i1 = Ok i et Oka 1 ia 1 = O l j ∃b1 ∈ N, ∃{j1, .., jb1 } ⊂ [|1, n|], ∃(l1, .., lb1 ) ∈ Πb1 t=1 [|1, njt |] tel que ∀m ′ ∈ [|1, b1 − 1|], O l m ′ j m ′ ∩ Ol m ′ +1 j m ′ +1 = ∅ avec O l1 j1 = Ol j et Olb 1 jb 1 = O s r Soient les listes d’indices I et I ′ avec Card(I) = Card(I ′ ) = q = a1 + b1 − 1, définies par I = {i1, .., ia1−1, ia1 = j1, .., jb1 } := {I1, .., Iq} et I ′ = {k1, .., ka1−1, ia1 = l1, .., lb1 } := {I′ 1 , .., I′ q}. Alors ∀m ∈ {1, .., q − 1}, O I′ m Im ∩ OI′ m+1 Im+1 = ∅ avec OI′ 1 I1 = Ok i et OI′ q Iq = Os r. Donc O k i RO O s r et la relation R O est transitive et est bien une relation d’équivalence. Cette définition est l’équivalent de la relation d’équivalence des ɛ-chaînes [86]. Les ouverts Ωi qui sont à support sur plusieurs pavés Ci sont reconstitués à l’aide de la proposition suivante. . .
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Introduction Les domaines des biolo
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Chapitre 1 Classification spectrale
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1.1.2 Problème du choix du paramè
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1.4 Méthodes de classification spe
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4.9.4 Comparaison avec la méthode
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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