Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

Chapitre 3
Parallélisation de la classification
spectrale
Dans ce chapitre, l’aspect numérique est privilégié. Un des objectifs des méthodes de classification
non supervisée est de les appliquer sur de grands ensembles de données. Or l’étape d’extraction
des vecteurs propres est très coûteuse car la matrice d’affinité (1.1) est pleine. Ainsi, des limites en
terme de coût numérique apparaissent. Plusieurs approches via le calcul parallèle ont été envisagées
récemment pour pallier ce défaut. En effet, divers auteurs exploitent des techniques d’Algèbre
linéaire comme la méthode de Nyström [44] ou bien des méthodes d’Arnoldi [92, 38] pour une implémentation
en parallèle et afin de réduire le coût numérique. Cependant, la matrice affinité entière
est construite et utilisée dans l’algorithme. De plus, le problème du choix préalable du nombre de
classes k reste ouvert.
Dans ce chapitre, les propriétés théoriques développées au chapitre précédent sont exploitées
pour proposer deux nouvelles stratégies de clustering spectral par décompositions en sous-domaines.
En appliquant indépendamment l’algorithme sur des sous-domaines particuliers, on montre que la
réunion des partitions locales représente une partition globale ou une sous-partition de l’ensemble
des points. Nous proposons d’appliquer le clustering spectral sur des sous-domaines directement
en divisant l’ensemble des données en sous-ensembles via leurs coordonnées géométriques. Avec un
paramètre global d’affinité gaussienne (1.1) et une méthode pour déterminer le nombre de clusters,
chaque processus applique indépendamment l’algorithme clustering spectral sur des sous ensembles
de données et fournit une partition locale. Une étape de regroupement assure la connexion entre
les sous-ensembles de points et détermine une partition globale à partir des locales. Après une
première phase d’expérimentations numériques, une alternative sera proposée puis testée sur des
cas géométriques et des cas de segmentation d’images. Le potentiel de parallélisme de l’algorithme
tout comme son comportement numérique et ses limitations seront étudiés.
3.1 Classification spectrale parallèle : justification
Il a été démontré [11, 12] que l’affinité gaussienne (1.1) peut être interprétée comme une discrétisation
du noyau de la chaleur. En particulier, d’après le précédent chapitre, nous avons montré que
cette matrice est une représentation discrète d’un opérateur de la chaleur défini sur un domaine,
approprié de R p . Grâce aux propriétés spectrales de l’équation de la chaleur, les vecteurs propres
de cette matrice sont asymptotiquement une représentation discrète de fonctions propres L 2 dont
les supports sont inclus sur une seule composante connexe à la fois.
Appliquer le clustering spectral revient donc à projeter sur le support de ces fonctions propres
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