Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.5.4 Etape de normalisation 77
d’une triangulation Th, la triangulation Th est de Delaunay si aucun sommet de S ne se trouve dans
l’intérieur du disque (ou sphère) circonscrit d’un simplexe K de Th.
Cette propriété de "la sphère ouverte circonscrite vide" est représentée par la figure 2.20 (a). Elle
permet de contrôler le rapport entre le rayon de la sphère inscrite au rayon de la sphère circonscrite
pour chaque maille. Ainsi l’hypothèse de régularité du maillage (2.25) est vérifiée. Les propriétés de
la triangulation sont les suivantes :
1. l’union des simplexes
K constitue l’enveloppe convexe des points de S ;
K∈Th
2. Sh est le graphe dual du diagramme de Voronoï associé à S (figure 2.20 (b)).
Il a été démontré [47] que la construction de la triangulation de Delaunay d’un ensemble de points
de dimension p est un problème équivalent à celui de la construction de l’enveloppe convexe d’un
ensemble de points en dimension p + 1. Comme l’enveloppe convexe existe, la triangulation de
Delaunay existe aussi.
Proposition 2.47. (Unicité de la triangulation de Delaunay) Une triangulation de Delaunay Th
est unique si les points de S sont en position générale, c’est-à-dire s’il n’y a pas p + 1 points dans
le même hyperplan ni p + 2 points sur la même hypersphère.
La figure 2.21 représente les triangulations de Delaunay appliquées aux noeuds d’un maillage
(e)-(f) ou à un ensemble quelconque de points comme les exemples précédemment présentés (figure
2.21 (a) à (d)).
2.5.4 Etape de normalisation
Dans tout ce chapitre, nous avons considéré le spectral clustering sans son étape de normalisation.
A l’origine, l’algorithme 1 de Ng, Jordan et Weiss [84] normalise la matrice affinité gaussienne avant
d’en extraire les plus grands vecteurs propres cf l’algorithme 3. Cependant quelles modifications
cette étape de normalisation peut-elle engendrer par rapport à la théorie précédente ?
Les articles relatifs aux marches aléatoires [79, 114] interprètent la méthode de spectral clustering
comme un problème homogène avec condition de Neumann. Cette interprétation est expliquée par
le fait que la marche aléatoire peut seulement sauter d’un point à un autre sans être absorbé et
la conservation de la matrice de transition en probabilités aboutit à considérer des conditions de
Neumann. Cette étape modifierait donc le comportement de la méthode qui considère un problème
aux valeurs propres avec des conditions de Dirichlet (ou conditions d’absorption) et amènerait donc
à considérer les fonctions propres d’un problème d’équation de la chaleur avec des conditions de
Neumann suivant :
(P N ⎧
⎪⎨ ∂tu − ∆u = 0 sur R
Ω )
⎪⎩
+ × Ω,
∂nu = 0, sur R + × ∂Ω,
u(t = 0) = f, sur Ω.
L’avantage de cette nouvelle approche est que l’opérateur de Laplace avec conditions de Neumann
reste compact autoadjoint positif et, de plus, ses valeurs propres strictement positives seront toutes
inférieures ou égales à 1. En outre, les fonctions égales à 1 sur Ωi et 0 sur Ω\Ωi, pour i ∈ {1, .., k} sont
fonctions propres associées à la valeur propre 1 de l’opérateur solution de l’équation de la chaleur
avec conditions de Neumann. En effet, en considérant l’équation de la chaleur avec conditions de
Neumann, (−∆ + ∂t) appliquée à ces fonctions donnent la fonction nulle et de plus, la dérivée