Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

More documents

Recommendations

Info

76 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne (a) Corrélation ω en fonction de t (b) Norme α en fonction de t (c) Corrélation τ en fonction de t (d) Norme β en fonction de t Figure 2.19 – Exemple 3 : Corrélation et différence en norme entre V1,i et respectivement les vecteurs propres Xl de (A + IN)M et Yl de A, pour i ∈ {1, 2} (a) Triangulation de Delaunay et cercles circonscrits (b) Triangulation de Delaunay et dual de Voronoï Figure 2.20 – Principe de la triangulation de Delaunay
2.5.4 Etape de normalisation 77 d’une triangulation Th, la triangulation Th est de Delaunay si aucun sommet de S ne se trouve dans l’intérieur du disque (ou sphère) circonscrit d’un simplexe K de Th. Cette propriété de "la sphère ouverte circonscrite vide" est représentée par la figure 2.20 (a). Elle permet de contrôler le rapport entre le rayon de la sphère inscrite au rayon de la sphère circonscrite pour chaque maille. Ainsi l’hypothèse de régularité du maillage (2.25) est vérifiée. Les propriétés de la triangulation sont les suivantes : 1. l’union des simplexes K constitue l’enveloppe convexe des points de S ; K∈Th 2. Sh est le graphe dual du diagramme de Voronoï associé à S (figure 2.20 (b)). Il a été démontré [47] que la construction de la triangulation de Delaunay d’un ensemble de points de dimension p est un problème équivalent à celui de la construction de l’enveloppe convexe d’un ensemble de points en dimension p + 1. Comme l’enveloppe convexe existe, la triangulation de Delaunay existe aussi. Proposition 2.47. (Unicité de la triangulation de Delaunay) Une triangulation de Delaunay Th est unique si les points de S sont en position générale, c’est-à-dire s’il n’y a pas p + 1 points dans le même hyperplan ni p + 2 points sur la même hypersphère. La figure 2.21 représente les triangulations de Delaunay appliquées aux noeuds d’un maillage (e)-(f) ou à un ensemble quelconque de points comme les exemples précédemment présentés (figure 2.21 (a) à (d)). 2.5.4 Etape de normalisation Dans tout ce chapitre, nous avons considéré le spectral clustering sans son étape de normalisation. A l’origine, l’algorithme 1 de Ng, Jordan et Weiss [84] normalise la matrice affinité gaussienne avant d’en extraire les plus grands vecteurs propres cf l’algorithme 3. Cependant quelles modifications cette étape de normalisation peut-elle engendrer par rapport à la théorie précédente ? Les articles relatifs aux marches aléatoires [79, 114] interprètent la méthode de spectral clustering comme un problème homogène avec condition de Neumann. Cette interprétation est expliquée par le fait que la marche aléatoire peut seulement sauter d’un point à un autre sans être absorbé et la conservation de la matrice de transition en probabilités aboutit à considérer des conditions de Neumann. Cette étape modifierait donc le comportement de la méthode qui considère un problème aux valeurs propres avec des conditions de Dirichlet (ou conditions d’absorption) et amènerait donc à considérer les fonctions propres d’un problème d’équation de la chaleur avec des conditions de Neumann suivant : (P N ⎧ ⎪⎨ ∂tu − ∆u = 0 sur R Ω ) ⎪⎩ + × Ω, ∂nu = 0, sur R + × ∂Ω, u(t = 0) = f, sur Ω. L’avantage de cette nouvelle approche est que l’opérateur de Laplace avec conditions de Neumann reste compact autoadjoint positif et, de plus, ses valeurs propres strictement positives seront toutes inférieures ou égales à 1. En outre, les fonctions égales à 1 sur Ωi et 0 sur Ω\Ωi, pour i ∈ {1, .., k} sont fonctions propres associées à la valeur propre 1 de l’opérateur solution de l’équation de la chaleur avec conditions de Neumann. En effet, en considérant l’équation de la chaleur avec conditions de Neumann, (−∆ + ∂t) appliquée à ces fonctions donnent la fonction nulle et de plus, la dérivée
Page 1:
Institut National Polytechnique de
Page 4 and 5:
ii TABLE DES MATIÈRES 2.5.1 Expér
Page 7 and 8:
Table des figures 1.1 Illustration
Page 9:
TABLE DES FIGURES vii 4.8 Etude ave
Page 13 and 14:
Remerciements Je tiens tout d’abo
Page 15 and 16:
Introduction Les domaines des biolo
Page 17 and 18:
adéquates dans un cadre non superv
Page 19 and 20:
Chapitre 1 : Classification spectra
Page 21 and 22:
Chapitre 1 Classification spectrale
Page 23 and 24:
1.1.1 Algorithme de classification
Page 25 and 26:
1.1.2 Problème du choix du paramè
Page 27 and 28:
1.1.2 Problème du choix du paramè
Page 29 and 30:
1.2.2 Cas d’une distribution isot
Page 31 and 32:
1.3 Validations numériques 19 1.3
Page 33 and 34:
1.3.1 Mesures de qualité 21 (a) Sm
Page 35 and 36:
1.3.1 Mesures de qualité 23 (a) Sm
Page 37 and 38: 1.3.1 Mesures de qualité 25 (a) Sm
Page 39 and 40: 1.4 Méthodes de classification spe
Page 41 and 42: 1.4.2 Traitement d’images 29 une
Page 43 and 44: 1.4.2 Traitement d’images 31 (a)
Page 45 and 46: Chapitre 2 Classification et élém
Page 47 and 48: 2.2 Présentation du résultat prin
Page 53 and 54: 2.3 Propriétés de classification
Page 55 and 56: 2.3.2 Classification via l’opéra
Page 65 and 66: 2.4.1 Eléments finis de Lagrange 5
Page 67 and 68: 2.4.2 Interprétation des élément
Page 69 and 70: 2.4.3 Propriété de classification
Page 71 and 72: 2.4.3 Propriété de classification
Page 73 and 74: 2.4.4 Condensation de masse 61 Le t
Page 75 and 76: 2.4.4 Condensation de masse 63 Eval
Page 77 and 78: 2.4.4 Condensation de masse 65 (a)
Page 79 and 80: 2.5.1 Expérimentations numériques
Page 81 and 82: 2.5.2 Choix du paramètre gaussien
Page 87: 2.5.3 Passage du discret au continu
Page 91 and 92: 2.5.5 Cas limites de validité de l
Page 93: 2.5.5 Cas limites de validité de l
Page 96 and 97: 84 Parallélisation de la classific
Page 112 and 113: 100 Parallélisation de la classifi
Page 132 and 133: 120 Extraction de connaissances app
Page 138 and 139:
126 Extraction de connaissances app
Page 140 and 141:
Page 142 and 143:
Page 144 and 145:
Page 146 and 147:
Page 148 and 149:
Page 150 and 151:
Page 152 and 153:
Page 154 and 155:
Page 156 and 157:
Page 158 and 159:
Page 160 and 161:
Page 162 and 163:
Page 164 and 165:
Page 167 and 168:
Conclusion et perspectives Dans ce
Page 169 and 170:
4.9.4 Comparaison avec la méthode
Page 171 and 172:
Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
Page 173 and 174:
BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
Page 175 and 176:
BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
Page 177:
BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
show all

Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?