Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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74 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne (a) Affinité gaussienne A en fonction de t (b) Noyau de la chaleur en fonction de t Figure 2.17 – Exemple 2 : Mesure de qualité de clustering en fonction de t clustering spectral et représenté figure 2.17. L’allure des courbes de la figure 2.17 (a) pour l’affinité gaussienne de l’algorithme est plus linéaire que celles de la figure 2.17(b). De plus, l’amplitude de la variation est différente d’un rapport de 10 en raison de l’absence de coefficient de normalisation (4πt) −p 2 avec t ≤ 1. Cependant, le support sur lequel rmoy est nul est identique dans les deux cas et donc le comportement par classe est identique mais avec une plus forte variation avec la définition de l’affinité gaussienne. Ceci tend à valider le choix de rmoy comme critère d’un bon clustering. Cas limite Cependant, des limites peuvent apparaître lors du passage du continu au discret. L’exemple représenté par la figure 2.18 où l’on considère des couronnes larges concentriques montre que le résidu de l’équation (2.49) dépend de la discrétisation et de la séparation des classes. En effet, sur les graphes de la figure 2.19 la valeur t = th coïncide avec l’optimum dans le continu mais est très éloigné de l’optimum lors du passage au discret, ce qui est représenté sur la figure 2.18 où le résultat du spectral clustering pour t = th est tracé. Ainsi la séparation entre les classes est trop faible pour avoir un résidu négligeable et conserver la propriété géométrique sur les vecteurs propres. 2.5.3 Passage du discret au continu : Triangulation de Delaunay Cette interprétation de la classification spectrale requiert de revenir à une formulation continue en vue de dégager une propriété de classification pour enfin revenir à un ensemble fini de points via un maillage par éléments finis. Cependant, cette représentation par éléments finis, à savoir définir un maillage pour tout ensemble fini de points, est-elle réaliste ? Les hypothèses d’isotropie de distribution des données et la régularité, la quasi-uniformité du maillage permettent de définir un maillage pour un ensemble quelconque de points via la triangulation de Delaunay. En effet, les triangulations de Delaunay [47] présentent des propriétés de régularité utiles pour l’approximation par éléments finis. Définition 2.46. Pour un ensemble de points S de l’espace euclidien R p constituant les sommets
2.5.3 Passage du discret au continu : Triangulation de Delaunay 75 (b) V1,1 (d) Produit (A + IN )MV1,1 (f) Produit AV1,1 (a) Exemple 3 : N = 368 points (c) V1,2 (e) Produit (A + IN )MV1,2 (g) Produit AV1,2 Figure 2.18 – Exemple 3 : Fonction propre discrétisée V1,i et produits (A + IN)MV1,i, AV1,i pour i ∈ {1, 2}
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Institut National Polytechnique de
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Table des figures 1.1 Illustration
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TABLE DES FIGURES vii 4.8 Etude ave
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Remerciements Je tiens tout d’abo
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Introduction Les domaines des biolo
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adéquates dans un cadre non superv
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Chapitre 1 : Classification spectra
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Chapitre 1 Classification spectrale
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1.1.1 Algorithme de classification
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1.1.2 Problème du choix du paramè
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1.1.2 Problème du choix du paramè
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1.3 Validations numériques 19 1.3
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4.9.4 Comparaison avec la méthode
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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