Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

74 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
(a) Affinité gaussienne A en fonction de t (b) Noyau de la chaleur en fonction de t
Figure 2.17 – Exemple 2 : Mesure de qualité de clustering en fonction de t
clustering spectral et représenté figure 2.17. L’allure des courbes de la figure 2.17 (a) pour l’affinité
gaussienne de l’algorithme est plus linéaire que celles de la figure 2.17(b). De plus, l’amplitude de
la variation est différente d’un rapport de 10 en raison de l’absence de coefficient de normalisation
(4πt) −p
2 avec t ≤ 1. Cependant, le support sur lequel rmoy est nul est identique dans les deux cas et
donc le comportement par classe est identique mais avec une plus forte variation avec la définition
de l’affinité gaussienne. Ceci tend à valider le choix de rmoy comme critère d’un bon clustering.
Cas limite
Cependant, des limites peuvent apparaître lors du passage du continu au discret. L’exemple
représenté par la figure 2.18 où l’on considère des couronnes larges concentriques montre que le
résidu de l’équation (2.49) dépend de la discrétisation et de la séparation des classes. En effet, sur
les graphes de la figure 2.19 la valeur t = th coïncide avec l’optimum dans le continu mais est très
éloigné de l’optimum lors du passage au discret, ce qui est représenté sur la figure 2.18 où le résultat
du spectral clustering pour t = th est tracé. Ainsi la séparation entre les classes est trop faible pour
avoir un résidu négligeable et conserver la propriété géométrique sur les vecteurs propres.
2.5.3 Passage du discret au continu : Triangulation de Delaunay
Cette interprétation de la classification spectrale requiert de revenir à une formulation continue
en vue de dégager une propriété de classification pour enfin revenir à un ensemble fini de points via
un maillage par éléments finis. Cependant, cette représentation par éléments finis, à savoir définir
un maillage pour tout ensemble fini de points, est-elle réaliste ?
Les hypothèses d’isotropie de distribution des données et la régularité, la quasi-uniformité du
maillage permettent de définir un maillage pour un ensemble quelconque de points via la triangulation
de Delaunay. En effet, les triangulations de Delaunay [47] présentent des propriétés de
régularité utiles pour l’approximation par éléments finis.
Définition 2.46. Pour un ensemble de points S de l’espace euclidien R p constituant les sommets