Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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68 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne Sur les figures 2.11 et 2.14, la ligne verticale en pointillés indique la valeur du paramètre t de l’heuristique 1.2 développée dans le chapitre 1 : th = σh 4 Dmax = 8N 1 , p avec Dmax = max1≤i,j≤N xi − xj2. Cette valeur est proche de l’optimum pour les exemples 2.10 et 2.13 (a) : cette valeur critique donne une bonne estimation de la distance δ de séparation entre les classes. De plus, les figures 2.10 (a) et 2.13 (a) représentent le résultat du clustering spectral pour cette valeur confirment cette observation. 2.5.2 Choix du paramètre gaussien Dans une première partie, nous comparons l’heuristique définie dans le chapitre 1 avec les hypothèses sur le paramètre de la chaleur issues de l’interprétation via l’équation de la chaleur et la théorie des éléments finis. Puis, la différence entre le noyau de la chaleur Kh et de la matrice d’affinité gaussienne sera étudiée en fonction du paramètre de la chaleur. Enfin, un cas limite d’étude entre la version continue et la version discrète sera présenté. Lien avec l’heuristique Dans l’approximation intérieure de l’ouvert Ωi par un ouvert Oi, δi = infy∈Oi δi(y) représente la distance de Oi à Ωi où δi(y) est la distance d’un point y ∈ Oi à ∂Ωi, la frontière de Ωi. Avec l’interprétation par les éléments finis, tous les points xi de Σ appartiennent à l’intérieur de l’ouvert ◦ O et l’ouvert O est la réunion de tous les éléments finis K de la triangulation Th, comme le montre la figure 2.16 : O = K. K∈Th La distance de séparation δ = infi δi peut alors être exprimée en fonction du pas de discrétisation h. D’après la définition de la séparation entre Ω et O et la représentation discrète, la distance δ est homogène à h : δ ∝ h. (2.52) De plus, les résultats démontrés précédemment ont permis de définir deux conditions (2.20) et (2.47) sur la paramètre t : h 3p+2
2.5.2 Choix du paramètre gaussien 69 (a) Exemple1 : N = 302 points (b) V1,1 (c) V1,2 (d) V1,3 (e) Produit (A + IN )MV1,1 (f) Produit (A + IN )MV1,2 (g) Produit (A + IN )MV1,3 (h) Produit AV1,1 (i) Produit AV1,2 (j) Produit AV1,3 Figure 2.10 – Exemple 1 : Fonction propre discrétisée V1,i et produits (A + IN)MV1,i, AV1,i pour i ∈ {1, 2, 3}
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Remerciements Je tiens tout d’abo
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Introduction Les domaines des biolo
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adéquates dans un cadre non superv
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Chapitre 1 : Classification spectra
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Chapitre 1 Classification spectrale
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1.1.1 Algorithme de classification
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1.1.2 Problème du choix du paramè
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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