Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

68 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Sur les figures 2.11 et 2.14, la ligne verticale en pointillés indique la valeur du paramètre t de
l’heuristique 1.2 développée dans le chapitre 1 :
th = σh
4
Dmax
=
8N 1 ,
p
avec Dmax = max1≤i,j≤N xi − xj2.
Cette valeur est proche de l’optimum pour les exemples 2.10 et 2.13 (a) : cette valeur critique
donne une bonne estimation de la distance δ de séparation entre les classes. De plus, les figures 2.10
(a) et 2.13 (a) représentent le résultat du clustering spectral pour cette valeur confirment cette
observation.
2.5.2 Choix du paramètre gaussien
Dans une première partie, nous comparons l’heuristique définie dans le chapitre 1 avec les hypothèses
sur le paramètre de la chaleur issues de l’interprétation via l’équation de la chaleur et la
théorie des éléments finis. Puis, la différence entre le noyau de la chaleur Kh et de la matrice d’affinité
gaussienne sera étudiée en fonction du paramètre de la chaleur. Enfin, un cas limite d’étude
entre la version continue et la version discrète sera présenté.
Lien avec l’heuristique
Dans l’approximation intérieure de l’ouvert Ωi par un ouvert Oi, δi = infy∈Oi δi(y) représente
la distance de Oi à Ωi où δi(y) est la distance d’un point y ∈ Oi à ∂Ωi, la frontière de Ωi. Avec
l’interprétation par les éléments finis, tous les points xi de Σ appartiennent à l’intérieur de l’ouvert
◦
O et l’ouvert O est la réunion de tous les éléments finis K de la triangulation Th, comme le montre
la figure 2.16 :
O =
K.
K∈Th
La distance de séparation δ = infi δi peut alors être exprimée en fonction du pas de discrétisation
h. D’après la définition de la séparation entre Ω et O et la représentation discrète, la distance δ est
homogène à h :
δ ∝ h. (2.52)
De plus, les résultats démontrés précédemment ont permis de définir deux conditions (2.20) et (2.47)
sur la paramètre t :
h 3p+2