Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.5.1 Expérimentations numériques 67
2.5.1 Expérimentations numériques
Après l’exemple des donuts , deux cas tests sont maintenant considérés : le premier dont les
classes sont séparables par hyperplans et le second dont les classes ne sont pas séparables par
hyperplans. L’influence du paramètre t est analysée sur les différences entre les fonctions propres
discrétisées de l’opérateur S O D (t) et les vecteurs propres de la matrice (A + IN)M. Les figures 2.10
et respectivement 2.13 représentent, pour i ∈ {1, 2, 3} :
– (a) : l’ensemble des données S et le résultat du clustering spectral pour t = th,
– (b)-(c)-(d) : les fonctions propres V1,i associées à la première valeur propre sur chaque composante
connexe,
– (e)-(f)-(g) : le produit de la matrice (A + IN)M avec ces fonctions discrétisées V1,i,
– (h)-(i)-(j) : le produit de la matrice affinité A avec V1,i.
Ces figures montrent que la localité du support des fonctions propres est préservée avec la discrétisation
des opérateurs (A + IN)M et A. Pour montrer la propriété d’invariance géométrique, nous
comparons la corrélation entre les fonctions propres Vn,i et les vecteurs propres de (A + IN)M qui
maximisent le coefficient de projection avec V1,i. En d’autres termes, soit V1,i = Πh v1,i ∈ Vh et Xl le
vecteur propre de (A + IN)M tel que : l = arg max(V1,i|Xj),
les corrélations ω et τ respectivement
j
entre les vecteurs Xl et V1,i et entre les vecteurs Yl et V1,i correspondent alors pour tout i ∈ {1, 2, 3}
à :
ω = |(V1,i|Xl)|
et τ =
V1,i2Xl2
|(V1,i|Yl)|
.
V1,i2Yl2
Les différences en norme, notées α et β, respectivement entre les vecteurs Xl et Vn,i et entre les
vecteurs Yl et Vn,i sont définies par, pour tout i ∈ {1, 2, 3} :
α = Xl − V1,i 2 et β = Yl − V1,i 2
. Comme les matrices (A+IN)M et A dépendent du paramètre t, les figures 2.11 et 2.14 représentent,
pour i ∈ {1, 2, 3} :
– (a)-(c) : l’évolution de la différence en norme, α (respectivement β), entre V1,i avec les vecteurs
propres de la matrice (A + IN)M (respectivement A) en fonction de t,
– (b)-(d) : l’évolution de la corrélation, ω (respectivement τ), entre V1,i avec les vecteurs propres
de la matrice (A + IN)M (respectivement A) en fonction de t.
Lorsque la corrélation τ et la différence en norme β sont étudiées pour la matrice affinité A, des
pics apparaissent ponctuellement en fonction de la valeur de t. Ils correspondent à un changement
de vecteur propre Xl de la matrice A maximisant le coefficient de projection (V1,i|Xj) pour cette
valeur de t.
Le coefficient de projection ω, proche de 1 pour une valeur optimale de t, souligne le fait que
les fonctions discrétisées de l’opérateur Laplacien avec conditions de Dirichlet sur un ouvert plus
grand Ω incluant une composante connexe Oi sont proches des vecteurs propres de l’opérateur de
la chaleur discrétisé sans condition aux frontières. Ce comportement reste sous la contrainte d’un
paramètre t qui requiert d’être choisi dans une plage appropriée. Le même comportement est observé
respectivement avec la différence en norme.
L’influence de la discrétisation du maillage est aussi étudiée sur la figure en superposant, pour
hmax ∈ {0.2, 0.4, 0.6}, les courbes de corrélation entre les vecteurs V1,i et Yl pour chaque composante
connexe i ∈ {1, 2, 3}. Plus le maillage est raffiné, plus la corrélation est forte. En effet, plus on raffine
la maillage, plus on s’approche de la version continue du clustering spectral et les vecteurs propres
en sont d’autant plus localisés.