Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

66 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Théorème 2.45. (Propriété de Clustering) En reprenant les hypothèses de la proposition 2.44, il
existe une famille de vecteurs, notés Zn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 avec Zn,i2 = 1, telle que pour
tout xr ∈ S et pour tout i ∈ {1, .., k} on obtient le résultat suivant :
⎡
∃α > 0, ∃n > 0, ∀t > 0 avec t, h
⎣
2 /t et h3p+1 /t2
assez petits,
Zn,i = argmax ((A {Zm,j,m∈N,j∈[|1,k|]} + IN).r|Zm,j)
2
et ⎤
⎦
⇐⇒ xr ∈ Oi, (2.50)
((A + IN).r|Zn,i)
2 > α
où (A + IN).r correspond à la r ieme colonne de la matrice A + IN.
Démonstration. On considère les Wn,i définis dans la proposition 2.44 et on pose Zn,i = Wn,i
Wn,i2 .
D’après le théorème 2.38, les Wn,i satisfont l’argument maximal du théorème. Par contre, ce résultat
est énoncé avec la norme définie avec la matrice de masse M. Il faut maintenant comparer la norme
avec M et la norme euclidienne. Par définition et en utilisant l’équation (2.44), on obtient pour w ∈
L2 (Vh) et W les
coordonnées de w dans la base, avec les hypothèses de régularité du maillage (2.48) :
(W |W )M = w(x)
O
2 dx = (W |W ) M + O(h) =
Wi
i
MiiWi + O(h) = W 2
i (C0h p + O(h p+1 )) +
√
O(h) donc W M = W 2 C0hp/2 + O( √ 1
h). Donc pour les Wn,i, Wn,i2 = √
C0hp/2 + O( 1 √ ) puis
h
avec Wn,i = Zn,iWn,i2 dans (2.49), il vient :
C0h p (4πt) −p
2 (A + IN)Zn,i 1 + O(h (p−1)/2
) = e −λn,it
Zn,i 1 + O(h (p−1)/2
) (2.51)
+ O
th p/2 , h 2+p/2 , h3p/2+1
,
t
h3p+2+p/2
t2 N Comme les Zn,i sont normés, AZn,i2 ≤ A∞ avec A∞ = max1≤j≤n i=1 Aij ≤ 2N par
définition de l’affinité (1.1). Or N représente le nombre de points dans le volume O donc avec
l’hypothèse de régularité du maillage (2.44), il est égal au rapport
entre le volume
total et le
1 + O(h (p−1)/2 ) = C0hpAZn,i +
volume de chaque élément fini soit : N ≈ 1/h p . Donc C0h p AZn,i
O(h (p−1)/2 ). Donc
C0h p (4πt) −p
2 (A + IN)Zn,i = e −λn,it Zn,i + O
th p/2 , h (p−1)/2 , h3p/2+1
,
t
h3p+2+p/2
t2 Ce dernier théorème montre donc le fonctionnement de la classification spectrale sans étape de
normalisation. Or ces résultats dépendent du pas de discrétisation h et du paramètre de l’affinité
t. Les rôles de h et t sont donc étudiés dans la section suivante à travers d’autres expérimentations
numériques.
2.5 Discussions
Dans cette section, nous présentons des expérimentations numériques sur des exemples présentant
des cas de séparations linéaire et non linéaire. Ainsi les diverses étapes développées dans les
chapitres seront représentées. Le choix du paramètre de la chaleur sera évoqué et comparé aux hypothèses
issues de la théorie et un exemple de cas limite entre le continu et le discret sera présenté.
Ensuite, le passage du discret au continu sera évoqué via la triangulation de Delaunay. L’étape de
normalisation n’étant pas prise en compte dans tout ce chapitre, elle fera l’objet d’une brève étude
et de discussions. Enfin, nous reviendrons sur des cas limites de validité de l’étude.
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