64 C<strong>la</strong>ssification <strong>et</strong> éléments spectraux <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité gaussienne Le résidu ψ du résultat principal (section 2.1.1) est fonction <strong>de</strong> <strong>la</strong> distance δ, du pas <strong>de</strong> discrétisation h <strong>et</strong> du paramètre du noyau Gaussien t qui doit satisfaire l’équation (2.20). Pour finir l’interprétation du spectral clustering non normalisé, il faut revenir aux vecteurs propres <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité A, autrement dit, "supprimer" <strong>la</strong> matrice M dans l’équation (2.45). Or M est une matrice diagonale mais si on avait M = aIn alors le résultat serait immédiat. Le ieme élément <strong>de</strong> M est donné par : Mi,i = supp(φi)/(p + 1). Deman<strong>de</strong>r <strong>à</strong> avoir M ≈ aIN revient <strong>à</strong> avoir |supp(φi)| ≈ |supp(φj)|, pour tout (i, j). Ce qui revient encore <strong>à</strong> <strong>de</strong>man<strong>de</strong>r plus <strong>de</strong> régu<strong>la</strong>rité sur le mail<strong>la</strong>ge. En notant Φ <strong>la</strong> moyenne <strong>de</strong>s tailles sur tous les supports <strong>de</strong> φj, ce<strong>la</strong> revient finalement <strong>à</strong> avoir <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion suivante pour tout j |supp(φj)| − Φ → 0 quand h → 0. Φ Avec l’hypothèse <strong>de</strong> régu<strong>la</strong>rité définie dans <strong>la</strong> proposition 2.42, on avait, pour tout j : |supp(φj)| ≈ Cjh p . Ces <strong>de</strong>ux hypothèses ensembles, le support <strong>de</strong> φj vérifie donc : |supp(φj)| = C0h p + O(h p+1 ). (2.48) Avec c<strong>et</strong>te <strong>de</strong>rnière hypothèse <strong>de</strong> régu<strong>la</strong>rité du mail<strong>la</strong>ge, <strong>la</strong> matrice M est remp<strong>la</strong>cée par une matrice homogène <strong>à</strong> une matrice i<strong>de</strong>ntité <strong>et</strong> <strong>la</strong> propriété <strong>de</strong> clustering peut être énoncée avec uniquement <strong>la</strong> matrice affinité A comme suit. Proposition 2.44. Supposons que les supports <strong>de</strong>s fonctions φj pour tout j vérifient l’équation (2.48). Soient les Wn,i définis par <strong>la</strong> proposition 2.36. Alors pour t > 0 on a : (4πt) −p 2 C0h p (A + IN) Wn,i = e −λn,it Wn,i + O t, h 2 , hp+1 , t h3p+2 t2 où quand (h, t) → 0 avec h 3p+2 /t 2 → 0, h p+1 /t → 0 <strong>et</strong> δ → 0. (2.49) Démonstration. D’après l’hypothèse (2.48) <strong>et</strong> <strong>la</strong> définition (2.43) <strong>de</strong>s éléments <strong>de</strong> M, le résultat est immédiat. Avec une con<strong>de</strong>nsation <strong>de</strong> masse <strong>et</strong> une hypothèse d’homogénéité <strong>de</strong> mail<strong>la</strong>ge, <strong>la</strong> propriété <strong>de</strong> spectral clustering est maintenant ramenée sur <strong>la</strong> matrice affinité A. On a donc montré que sous plusieurs hypothèses sur le paramètre t (ou σ) <strong>et</strong> une isotropie <strong>de</strong> <strong>la</strong> distribution, les vecteurs propres issus <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité sont proches <strong>de</strong>s ceux <strong>de</strong> l’opérateur <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur discrétisé avec conditions <strong>de</strong> Dirichl<strong>et</strong>. En eff<strong>et</strong>, lorsque t/h 2 → 0, les vecteurs propres associés <strong>à</strong> <strong>de</strong>s valeurs propres proches <strong>de</strong> 0 correspon<strong>de</strong>nt aux fonctions propres discrétisées. Ainsi, les données proj<strong>et</strong>ées dans l’espace spectral sont concentrées par c<strong>la</strong>sses <strong>et</strong> séparées. Les images <strong>de</strong> <strong>la</strong> figure 2.9 illustrent le produit entre <strong>la</strong> matrice affinité A <strong>et</strong> les fonctions propres discrétisées V1,i, i ∈ {1, 2}. De <strong>la</strong> même façon, <strong>la</strong> figure suivante représente les vecteurs propres <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice A qui sont le plus semb<strong>la</strong>ble respectivement <strong>de</strong> <strong>la</strong> fonction propre discrétisée V1,1 <strong>et</strong> V1,2 pour <strong>la</strong> valeur t = th où th représente l’heuristique (1.2) développée dans le chapitre 1 tel que th = σh 4 Dmax = 8N 1 . p Pour terminer, on peut alors donner le résultat <strong>de</strong> clustering sur <strong>la</strong> matrice A.
2.4.4 Con<strong>de</strong>nsation <strong>de</strong> masse 65 (a) Produit AV1,1 (c) Vecteur propre <strong>de</strong> A associé <strong>à</strong> V1,1 pour t = th Figure 2.9 – Exemple <strong>de</strong>s donuts (b) Produit AV1,2 (d) Vecteur propre <strong>de</strong> A associé <strong>à</strong> V1,2 pour t = th