Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

64 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Le résidu ψ du résultat principal (section 2.1.1) est fonction de la distance δ, du pas de discrétisation
h et du paramètre du noyau Gaussien t qui doit satisfaire l’équation (2.20). Pour finir l’interprétation
du spectral clustering non normalisé, il faut revenir aux vecteurs propres de la matrice
affinité A, autrement dit, "supprimer" la matrice M dans l’équation (2.45). Or M est une matrice
diagonale mais si on avait M = aIn alors le résultat serait immédiat. Le ieme élément de M est donné
par : Mi,i = supp(φi)/(p + 1). Demander à avoir M ≈ aIN revient à avoir |supp(φi)| ≈ |supp(φj)|,
pour tout (i, j). Ce qui revient encore à demander plus de régularité sur le maillage. En notant Φ la
moyenne des tailles sur tous les supports de φj, cela revient finalement à avoir la relation suivante
pour tout j
|supp(φj)| − Φ
→ 0 quand h → 0.
Φ
Avec l’hypothèse de régularité définie dans la proposition 2.42, on avait, pour tout j : |supp(φj)| ≈
Cjh p . Ces deux hypothèses ensembles, le support de φj vérifie donc :
|supp(φj)| = C0h p + O(h p+1 ). (2.48)
Avec cette dernière hypothèse de régularité du maillage, la matrice M est remplacée par une matrice
homogène à une matrice identité et la propriété de clustering peut être énoncée avec uniquement la
matrice affinité A comme suit.
Proposition 2.44. Supposons que les supports des fonctions φj pour tout j vérifient l’équation
(2.48). Soient les Wn,i définis par la proposition 2.36. Alors pour t > 0 on a :
(4πt) −p
2 C0h p (A + IN) Wn,i = e −λn,it
Wn,i + O t, h 2 , hp+1
,
t
h3p+2
t2 où quand (h, t) → 0 avec h 3p+2 /t 2 → 0, h p+1 /t → 0 et δ → 0.
(2.49)
Démonstration. D’après l’hypothèse (2.48) et la définition (2.43) des éléments de M, le résultat est
immédiat.
Avec une condensation de masse et une hypothèse d’homogénéité de maillage, la propriété de
spectral clustering est maintenant ramenée sur la matrice affinité A. On a donc montré que sous
plusieurs hypothèses sur le paramètre t (ou σ) et une isotropie de la distribution, les vecteurs propres
issus de la matrice affinité sont proches des ceux de l’opérateur de la chaleur discrétisé avec conditions
de Dirichlet. En effet, lorsque t/h 2 → 0, les vecteurs propres associés à des valeurs propres
proches de 0 correspondent aux fonctions propres discrétisées. Ainsi, les données projetées dans
l’espace spectral sont concentrées par classes et séparées.
Les images de la figure 2.9 illustrent le produit entre la matrice affinité A et les fonctions propres
discrétisées V1,i, i ∈ {1, 2}. De la même façon, la figure suivante représente les vecteurs propres de
la matrice A qui sont le plus semblable respectivement de la fonction propre discrétisée V1,1 et
V1,2 pour la valeur t = th où th représente l’heuristique (1.2) développée dans le chapitre 1 tel que
th = σh
4
Dmax
=
8N 1 .
p
Pour terminer, on peut alors donner le résultat de clustering sur la matrice A.