Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.4.4 Condensation de masse 63
Evaluons ΠhS O H (t)(φj) − Πh F (φj) L 2 (Vh). Introduisons l’inégalité triangulaire suivante :
ΠhS O H(t)(φj) − Πh F (φj) L 2 (O) ≤ ΠhS O H(t)(φj) − ΠhF (φj) L 2 (O)
+ ΠhF (φj) − Πh F (φj) L 2 (O). (2.46)
La majoration de ΠhS O H (t)(φj) − ΠhF (φj) L 2 (O) est donnée par la proposition 2.34. Déterminer
l’erreur revient alors à estimer la norme L 2 sur O de la différence ΠhF (φj) − Πh F (φj) L 2 (O) :
Vh
ΠhF (φj)(x) − Πh
F (φj)(x)
D’après (2.27), pour tout K ∈ Th,
F (φj)(x) −
F (φj)(x) =
K
2
1
2
dx
=
⎛
⎜
⎝
K∈T h
suppφj∩K=∅
ΠhKH (t, x, y) φj(y)dy − (4πt) −p
2
K
ΠhF (φj)(x) − Πh
F (φj)(x)
2
N x − xi2 exp(− )
4t
Mij.
i=1
⎞
⎟
dx⎟
⎠
Par continuité de Πh et en appliquant l’équation (2.44), il existe alors une constante une constante
positive C3 > 0 telle que :
F (φj) −
F (φj) ≤ C3h|ΠhKH|1,K ≤ C3CΠhh|KH|1,K. Or d’après (2.28), l’application y ↦→ ∂xα est majorée sur O par la fonction g1 ∈ C ∞ pour t assez
petit définie par g1 : y ↦→ diam(O)
t (4πt) −p
2 intégrable sur O. Donc
F (φj) −
F (φj) ≤ CΠhC3h| sup
xα
∂xαKH|1,K ≤ CΠh C3
h
−p
diam(O)(4πt) 2 .
t
D’après les hypothèses de régularité du maillage, il existe β > 0 tel que |K| ≤ βh p donc pour tout
K ∈ Th, il suit :
K
ΠhF (φj)(x) − Πh
F (φj)(x)
2
dx ≤ C 2 Πh
De plus, |supp(φj)| ≤ βµh p donc on obtient finalement :
Vh
ΠhF (φj)(x) − Πh
F (φj)(x)
avec C = C3C 2 Πh β√ µ diam(O).
2
1
2
dx
K
≤
|F (φj)(x)− F (φj)(x)| 2 dx ≤ C 2 Πh
⎛
⎜
⎝
K∈T h
suppφj∩K=∅
≤ C hp+1
(4πt)
t
−p
2 ,
CΠh C3
C 4 ΠhC2 3β hp+2
t2 diam(O)2 (4πt) −p
1
2
2 h
−p
diam(O)(4πt) 2
t
Remarque 2.43. La condensation de masse n’a pas modifié l’hypothèse (2.31) de la borne minimale
du paramètre de la chaleur t. En effet, t doit toujours satisfaire la condition suivante :
⎞
⎟
⎠
h 3p+2 < t 2 . (2.47)
1
2