Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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2.4.4 Con<strong>de</strong>nsation <strong>de</strong> masse 63<br />
Evaluons ΠhS O H (t)(φj) − Πh F (φj) L 2 (Vh). Introduisons l’inégalité triangu<strong>la</strong>ire suivante :<br />
ΠhS O H(t)(φj) − Πh F (φj) L 2 (O) ≤ ΠhS O H(t)(φj) − ΠhF (φj) L 2 (O)<br />
+ ΠhF (φj) − Πh F (φj) L 2 (O). (2.46)<br />
La majoration <strong>de</strong> ΠhS O H (t)(φj) − ΠhF (φj) L 2 (O) est donnée par <strong>la</strong> proposition 2.34. Déterminer<br />
l’erreur revient alors <strong>à</strong> estimer <strong>la</strong> norme L 2 sur O <strong>de</strong> <strong>la</strong> différence ΠhF (φj) − Πh F (φj) L 2 (O) :<br />
<br />
Vh<br />
<br />
<br />
ΠhF (φj)(x) − Πh <br />
<br />
F (φj)(x)<br />
D’après (2.27), pour tout K ∈ Th,<br />
F (φj)(x) − <br />
F (φj)(x) =<br />
K<br />
2<br />
1<br />
2<br />
dx<br />
=<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
<br />
K∈T h<br />
suppφj∩K=∅<br />
ΠhKH (t, x, y) φj(y)dy − (4πt) −p<br />
2<br />
<br />
K<br />
<br />
<br />
ΠhF (φj)(x) − Πh <br />
<br />
F (φj)(x)<br />
2<br />
N x − xi2 exp(− )<br />
4t<br />
Mij.<br />
i=1<br />
⎞<br />
⎟<br />
dx⎟<br />
⎠<br />
Par continuité <strong>de</strong> Πh <strong>et</strong> en appliquant l’équation (2.44), il existe alors une constante une constante<br />
positive C3 > 0 telle que :<br />
<br />
<br />
F (φj) − <br />
<br />
F (φj) ≤ C3h|ΠhKH|1,K ≤ C3CΠhh|KH|1,K. Or d’après (2.28), l’application y ↦→ ∂xα est majorée sur O par <strong>la</strong> fonction g1 ∈ C ∞ pour t assez<br />
p<strong>et</strong>it définie par g1 : y ↦→ diam(O)<br />
t (4πt) −p<br />
2 intégrable sur O. Donc<br />
<br />
<br />
F (φj) − <br />
<br />
F (φj) ≤ CΠhC3h| sup<br />
xα<br />
∂xαKH|1,K ≤ CΠh C3<br />
h<br />
−p<br />
diam(O)(4πt) 2 .<br />
t<br />
D’après les hypothèses <strong>de</strong> régu<strong>la</strong>rité du mail<strong>la</strong>ge, il existe β > 0 tel que |K| ≤ βh p donc pour tout<br />
K ∈ Th, il suit :<br />
<br />
K<br />
<br />
<br />
ΠhF (φj)(x) − Πh <br />
<br />
F (φj)(x)<br />
2<br />
dx ≤ C 2 Πh<br />
De plus, |supp(φj)| ≤ βµh p donc on obtient finalement :<br />
<br />
Vh<br />
<br />
<br />
ΠhF (φj)(x) − Πh <br />
<br />
F (φj)(x)<br />
avec C = C3C 2 Πh β√ µ diam(O).<br />
2<br />
1<br />
2<br />
dx<br />
<br />
K<br />
≤<br />
|F (φj)(x)− F (φj)(x)| 2 dx ≤ C 2 Πh<br />
⎛<br />
⎜<br />
⎝<br />
<br />
K∈T h<br />
suppφj∩K=∅<br />
≤ C hp+1<br />
(4πt)<br />
t<br />
−p<br />
2 ,<br />
<br />
CΠh C3<br />
C 4 ΠhC2 3β hp+2<br />
t2 diam(O)2 (4πt) −p<br />
1<br />
2<br />
2 h<br />
−p<br />
diam(O)(4πt) 2<br />
t<br />
Remarque 2.43. La con<strong>de</strong>nsation <strong>de</strong> masse n’a pas modifié l’hypothèse (2.31) <strong>de</strong> <strong>la</strong> borne minimale<br />
du paramètre <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur t. En eff<strong>et</strong>, t doit toujours satisfaire <strong>la</strong> condition suivante :<br />
⎞<br />
⎟<br />
⎠<br />
h 3p+2 < t 2 . (2.47)<br />
1<br />
2