Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

62 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Notons M la matrice diagonale issue de la condensation de masse d’élément M(i, j) défini par :
M(i, j) =
supp(φj)∈K
0 sinon.
|K|
p+1
si i = j,
(2.43)
D’après [87], la quadrature numérique est exacte pour les polynômes de degré 1. Donc l’erreur
d’approximation peut être estimée à l’aide de la proposition suivante.
Proposition 2.41. Pour tout f ∈ C0 (O), il existe une constante strictement positive C3 > 0 telle
que l’erreur d’approximation satisfait :
n
|K|
f(x)φj(x)dx − fi φi(xik )φj(xik )
K
p + 1
≤ C3 h|f|1,K. (2.44)
où |f|1,K =
K
|∂xf| 2 1
2
dx .
i=1
k∈IK
Démonstration. En effectuant le développement de Taylor avec reste intégral à l’ordre 1 de f puis
en appliquant l’équation (2.41) à la partie polynomiale, on obtient le résultat.
Propriété de classification de la matrice affinité A
Le résultat suivant estime l’erreur qui est commise en remplaçant la matrice de masse par la
matrice condensée (2.43) dans la proposition 2.36.
Proposition 2.42. On effectue les hypothèses de régularité du maillage suivantes :
1. il existe deux constantes positives α et β ne dépendant pas de h telles que ∀K ∈ Th, αh p ≤
|K| ≤ βh p ,
2. il existe un nombre µ > 0 ne dépendant pas de h tel que, pour tout h, un sommet quelconque
du maillage Σh appartient au plus à µ éléments K ∈ Th.
Soient M la matrice condensée définie par (2.43) et les Wn,i définis par la proposition 2.36. Alors
pour t > 0 assez petit, on a :
(4πt) −p
2 (A + IN) MWn,i = e −λn,it
Wn,i + O t, h 2 , h3p+2
t2
hp+1 + O , (2.45)
t
où quand (h, t) → 0 avec h 3p+2 /t 2 → 0, h 3 /t → 0 et δ → 0.
Démonstration. Introduisons F comme l’opérateur linéaire de Vh dans L 2 (O) défini, pour tout
φj ∈ L 2 (O) et pour x ∈ O, par
F (φj)(x) = (4πt) −p
2
N x − xi2 exp(− )
4t
Mij,
i=1
avec Mij définie par (2.43).
Par ailleurs, F (φj) est une fonction C ∞ et donc F (φj) est H 2 sur O. Ainsi la projection Πh de
C 0 (O) sur Vh appliquée à F (φj) donne, pour tout φj ∈ L 2 (O) :
Πh F (φj)(x) = (4πt) −p
2
N
k=1
(A + IN) M
kj φk(x), ∀x ∈ O.