Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.4.4 Condensation de masse 61
Le théorème 2.38 permet d’expliquer le lien entre le clustering dans l’espace de projection spectrale
et le clustering des données initiales. En effet, on retrouve qu’un point xr appartient à l’ensemble
Oi à partir du produit scalaire de la r ieme colonne de la matrice (A + IN)M et des ’quasi’
vecteurs propres Vn,i. Les valeurs de ces produits scalaires représentent les coefficients de la matrice
Y de l’algorithme 2. L’étape de k-means revient donc à chercher l’élément qui réalise l’argument
maximal de l’équation (2.39).
Les résultats du théorème 2.38 incluent la matrice de masse M dont la définition est totalement
dépendante des éléments finis construits et donc de la définition des Ωi, i ∈ {1, .., k}, ce qui ne
peut pas être vraisemblablement supposé avant d’avoir effectué le clustering. Afin de supprimer
cette dépendance, une condensation de masse est envisagée dans la section suivante et les résultats
spectraux précédents seront formulés avec une matrice de masse diagonale à la place d’une matrice
de masse pleine. L’objectif est de faire disparaître cette connaissance a priori afin de focaliser le
travail sur l’étude spectrale de la matrice A + IN, ou de manière équivalente sur A.
2.4.4 Condensation de masse
Pour supprimer l’influence des éléments finis et de la matrice de masse dans les résultats, on
s’intéresse à une condensation de masse qui approche la matrice de masse par une matrice diagonale.
Dans la suite, après avoir défini la condensation de masse, les résultats de la propriété 2.36 et du
théorème 2.38 sont reformulés et une propriété de clustering de la matrice affinité A sera donc
énoncée.
Définition et approximation
Commençons par introduire quelques éléments d’approximation numérique.
Définition 2.39. (Quadrature numérique) Soit IK la liste des indices de points appartenant à un
élément K ∈ τh donné. Considérons la quadrature numérique pour les polynômes P1 :
K
φ(x)dx ≈
où |K| représente le volume de l’élément fini K.
k∈IK
|K|
φ(xik ), (2.41)
p + 1
Proposition 2.40. Cette quadrature numérique est exacte pour les polynômes de degré ≤ 1.
Démonstration. Cette propriété est démontrée dans [26].
Donc pour toute fonction f ∈ C0 (O), on a :
f(x)φj(x)dx ≈
O
n
K∈Th i=1
fi
K
φi(x)φj(x)dx. (2.42)
Avec la définition et le support de φi et φj, le produit φi(xik )φj(xik ) est défini par :
φi(xik )φj(xik ) = δikiδikj.
On obtient donc l’approximation suivante de l’équation (2.42) avec la quadrature numérique (2.41) :
n
K∈Th i=1
fi
3
k=1
|K|
φi(xik )φj(xik ) ≈
3
K∈Th ik∈IK
supp(φj)∩K=∅
|K|
fikδikj. p + 1