Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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2.4.3 Propriété <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification du produit (A + IN)M 57<br />
Par l’inégalité <strong>de</strong> Cauchy-Schwarz, il vient alors :<br />
S O H(t)(φj) − F (φj) L 2 (O) ≤ KH(t, x, .) − ΠhKH(t, x, .) L 2 (O)φj L 2 (O).<br />
En appliquant <strong>la</strong> proposition 2.30, <strong>la</strong> norme L 2 <strong>de</strong> l’erreur KH(t, x, .) − ΠhKH(t, x, .) L 2 (O) peut<br />
être évaluée. En eff<strong>et</strong>, il existe une constante C2 > 0 telle que<br />
KH(t, x, .) − ΠhKH(t, x, .) L 2 (O) ≤ C2h 2 |KH| H 2 (O).<br />
En utilisant respectivement les majorations <strong>de</strong> φj L 2 (O) <strong>et</strong> ∂xα∂xβ KH, on obtient enfin<br />
ce qui termine <strong>la</strong> preuve.<br />
Πh(S O H(t)(φj) − F (φj)) L 2 (Vh) ≤ C h3p+2<br />
t 2 (4πt) −p<br />
2 , (2.30)<br />
Remarque 2.35. Le résultat (2.26) <strong>de</strong> <strong>la</strong> proposition 2.34 perm<strong>et</strong> <strong>de</strong> définir une borne minimale<br />
pour le paramètre <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur t. En eff<strong>et</strong>, c<strong>et</strong>te approximation est va<strong>la</strong>ble si t satisfait <strong>la</strong> condition<br />
suivante :<br />
h 3p+2 < t 2 . (2.31)<br />
2.4.3 Propriété <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification du produit (A + IN)M<br />
La propriété 2.34 montre que le produit <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité (1.1) <strong>de</strong> l’Algorithme 1 par <strong>la</strong><br />
matrice <strong>de</strong> masse M issue <strong>de</strong> <strong>la</strong> discrétisation par éléments finis est interprété comme <strong>la</strong> projection<br />
par Πh <strong>de</strong> l’opérateur solution <strong>de</strong> (PRp). On a donc un lien entre les vecteurs propres <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice<br />
affinité A <strong>et</strong> <strong>de</strong>s éléments caractérisant les Ωi, pour i ∈ {1, .., k}.<br />
Donc, en supposant les mêmes hypothèses que pour <strong>la</strong> proposition 2.23 <strong>de</strong> <strong>la</strong> section précé<strong>de</strong>nte,<br />
l’équation (2.23) peut être formulée via l’application d’interpo<strong>la</strong>tion Πh.<br />
(Ω) associée <strong>à</strong> <strong>la</strong><br />
). Alors,<br />
Proposition 2.36. Soit vn,i une fonction propre normée S Ωi<br />
D (t) dans H2 (Ω) ∩ H1 0<br />
valeur propre e−λn,it Ωi<br />
telle que SD (t)vn,i = e−λn,itvn,i. Soit i ∈ {1, .., k} <strong>et</strong> vn,i = Ti(vn,i|Oi<br />
pour Wn,i = [Πhvn,i] ∈ R N <strong>et</strong> t > 0, on a :<br />
(4πt) −p<br />
2 (A + IN)MWn,i = e −λn,it Wn,i + O<br />
quand (h, t) → 0 avec h 3p+2 /t 2 → 0 <strong>et</strong> δ → 0.<br />
<br />
t, h 2 , h3p+2<br />
t2 <br />
, (2.32)<br />
Le lemme suivant est nécessaire pour démontrer le résultat <strong>de</strong> <strong>la</strong> proposition 2.36.<br />
Lemme 2.37. Il existe une constante C > 0 indépendante <strong>de</strong> h <strong>et</strong> <strong>de</strong> t telle que, pour tout fonction<br />
f ∈ H 2 (Ω), on a :<br />
ΠhS O HΠhf − ΠhS O Hf L2 (Vh) ≤ Ch 2 δ2<br />
−<br />
e 4t fH 2 (Ω)<br />
(2.33)<br />
Démonstration. En utilisant <strong>la</strong> linéarité <strong>et</strong> <strong>la</strong> continuité <strong>de</strong> Πh, il existe une constante CΠh > 0 telle<br />
que :<br />
(2.34)<br />
ΠhS O HΠhf − ΠhS O Hf L 2 (Vh) ≤ CΠh SO H(Πhf − f) C 0 (Ō)<br />
Avec <strong>la</strong> définition <strong>de</strong> <strong>la</strong> norme C0 ( Ō), l’inégalité <strong>de</strong> Cauchy-Schwarz <strong>et</strong> <strong>la</strong> majoration <strong>de</strong> l’opérateur<br />
SO H (2.35), l’équation (2.23) <strong>de</strong> <strong>la</strong> proposition 2.30 est appliquée <strong>à</strong> Πhf − fL2 (O) :<br />
δ2<br />
−<br />
≤ V ol(O)e 4t Πhf − fL2 (O) ≤ V ol(O)Ch 2 δ2<br />
−<br />
e 4t |f| H2 (O). (2.35)