Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.4.3 Propriété de classification du produit (A + IN)M 57
Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, il vient alors :
S O H(t)(φj) − F (φj) L 2 (O) ≤ KH(t, x, .) − ΠhKH(t, x, .) L 2 (O)φj L 2 (O).
En appliquant la proposition 2.30, la norme L 2 de l’erreur KH(t, x, .) − ΠhKH(t, x, .) L 2 (O) peut
être évaluée. En effet, il existe une constante C2 > 0 telle que
KH(t, x, .) − ΠhKH(t, x, .) L 2 (O) ≤ C2h 2 |KH| H 2 (O).
En utilisant respectivement les majorations de φj L 2 (O) et ∂xα∂xβ KH, on obtient enfin
ce qui termine la preuve.
Πh(S O H(t)(φj) − F (φj)) L 2 (Vh) ≤ C h3p+2
t 2 (4πt) −p
2 , (2.30)
Remarque 2.35. Le résultat (2.26) de la proposition 2.34 permet de définir une borne minimale
pour le paramètre de la chaleur t. En effet, cette approximation est valable si t satisfait la condition
suivante :
h 3p+2 < t 2 . (2.31)
2.4.3 Propriété de classification du produit (A + IN)M
La propriété 2.34 montre que le produit de la matrice affinité (1.1) de l’Algorithme 1 par la
matrice de masse M issue de la discrétisation par éléments finis est interprété comme la projection
par Πh de l’opérateur solution de (PRp). On a donc un lien entre les vecteurs propres de la matrice
affinité A et des éléments caractérisant les Ωi, pour i ∈ {1, .., k}.
Donc, en supposant les mêmes hypothèses que pour la proposition 2.23 de la section précédente,
l’équation (2.23) peut être formulée via l’application d’interpolation Πh.
(Ω) associée à la
). Alors,
Proposition 2.36. Soit vn,i une fonction propre normée S Ωi
D (t) dans H2 (Ω) ∩ H1 0
valeur propre e−λn,it Ωi
telle que SD (t)vn,i = e−λn,itvn,i. Soit i ∈ {1, .., k} et vn,i = Ti(vn,i|Oi
pour Wn,i = [Πhvn,i] ∈ R N et t > 0, on a :
(4πt) −p
2 (A + IN)MWn,i = e −λn,it Wn,i + O
quand (h, t) → 0 avec h 3p+2 /t 2 → 0 et δ → 0.
t, h 2 , h3p+2
t2
, (2.32)
Le lemme suivant est nécessaire pour démontrer le résultat de la proposition 2.36.
Lemme 2.37. Il existe une constante C > 0 indépendante de h et de t telle que, pour tout fonction
f ∈ H 2 (Ω), on a :
ΠhS O HΠhf − ΠhS O Hf L2 (Vh) ≤ Ch 2 δ2
−
e 4t fH 2 (Ω)
(2.33)
Démonstration. En utilisant la linéarité et la continuité de Πh, il existe une constante CΠh > 0 telle
que :
(2.34)
ΠhS O HΠhf − ΠhS O Hf L 2 (Vh) ≤ CΠh SO H(Πhf − f) C 0 (Ō)
Avec la définition de la norme C0 ( Ō), l’inégalité de Cauchy-Schwarz et la majoration de l’opérateur
SO H (2.35), l’équation (2.23) de la proposition 2.30 est appliquée à Πhf − fL2 (O) :
δ2
−
≤ V ol(O)e 4t Πhf − fL2 (O) ≤ V ol(O)Ch 2 δ2
−
e 4t |f| H2 (O). (2.35)