Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

56 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
D’après les notations de l’affinité (1.1), on obtient pour tout x ∈ O et tout j :
ΠhF (φj)(x) = (4πt) −p
2
N
k=1 i=1
N
exp(− xk − xi2
)Mij φk(x) = (4πt)
4t
−p
2
N
((A + IN)M) kj φk(x).
En utilisant la proposition 2.30, l’erreur en norme L 2 de ΠhF (φj) − F (φj) L 2 (O) peut être évaluée.
Il existe alors une constante C > 0 telle que
ΠhF (φj) − F (φj) L 2 (O) ≤ Ch 2 |F (φj)| H 2 (O).
Rappelons que l’application x ↦→ KH(t, x, y) est C∞ sur O donc, pour tout y ∈ O, ∂xαKH(t, x, y)
et ∂xα∂xβ KH(t, x, y) les dérivées partielles de KH peuvent être calculées, pour tout x ∈ O, α, β ∈
[|1, p|] et t > 0 :
∂xαKH(t, x, y) = − 2
t (x − y)αKH(t, x, y),
∂xα∂xβ KH(t,
4
x, y) = t2 (x − y)α(x − y)β − 2
t KH(t, x, y) si α = β,
4
t2 (x − y) 2 α − 2
(2.28)
t KH(t, x, y) sinon.
Remarquons que l’application y ↦→ ∂xα∂xβ KH(t, x, y) peut être majorée sur O par une fonction
g ∈ C∞ (O) définie pour t assez petit par g : y ↦→ diam(O)
t2 (4πt) −p
2 qui est intégrable sur O. Donc
le théorème de dérivation sous le signe intégrale [108] peut être appliqué à la fonction F (φj) avec
le produit scalaire (.|.) H 2 :
∂xα∂xβ F (φj)(x) = Πh∂xα∂xβ KH
(t, x, .) |φj L2 . (2.29)
(O)
En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec le produit scalaire (.|.) L 2 (O) :
∂xα∂xβ F (φj) L 2 (O) ≤ Πh∂xα∂xβ KH (t, x, .) L 2 (supp(φj))φj L 2 (O)
Notons que la fonction y ↦→ Πh∂xα∂xβ KH (t, x, .) est majorée en module par g. De plus, en majorant
la fonction φj par 1 sur son support, on obtient :
∂xα∂xβ F (φj)
2 diam(O)
L2 (O) ≤ |supp(φj)|
t2 k=1
(4πt) −p
2 .
En utilisant les hypothèses de régularité du maillage, on en déduit que |supp(φj)| ≤ βµh p et donc
∂xα∂xβ F (φj)L2 (O) ≤ β 2 µ 2 2p diam(O)
h
t2 (4πt) −p
2 .
Calculons maintenant que Πh(S O H(t)φj)(x). Par définition, φj ∈ L 2 (O) et en appliquant le
théorème de Hille-Yosida, l’opérateur solution SO H (t)(φj) de (PRp|O) est à valeurs dans H2 (O).
Par le théorème 2.4, SO H (t)(φj) ∈ C0 ( Ō). Donc, pour tout 1 ≤ j ≤ N, d’après la continuité de
l’application Πh, il existe une constante CΠh telle que :
O
Πh SH(t)(φj) − F (φj) L2 (Vh) ≤ CΠhSO H(t)(φj) − F (φj)C0 (O).
A partir de la définition de l’opérateur S O H (φj) et F (φj), on a
S O H(t)(φj) − F (φj) L 2 (O) = (KH(t, x, .) − ΠhKH(t, x, .)|φj) L 2 (O) L 2 (O).