Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.4.2 Interprétation des éléments de la classification spectrale 55
(a) Ensemble des données S (b) Maillage pouvant être associé à S
Figure 2.7 – Exemple des donuts
1. il existe deux constantes positives α et β ne dépendant pas de h telles que ∀K ∈ Th, αh p ≤
|K| ≤ βh p ,
2. il existe un nombre µ > 0 ne dépendant pas de h tel que pour tout h un sommet quelconque
du maillage Σh appartient au plus à µ éléments K ∈ Th.
Pour t > 0 assez petit, la projection de l’opérateur S O H (t) appliqué à φj, dans la base de (φk)k, est
définie par :
(4πt) p
2 Πh(S O H(t)φj)(x) =
N
h3p+2 ((A + IN)M) kj φk(x) + O
t2
, ∀ 1 ≤ j ≤ N, (2.26)
k=1
où A est la matrice affinité définie par (1.1).
Démonstration. D’après la définition (2.15) de l’opérateur SH(t) restreint à l’ouvert O, pour tout
x ∈ O, on a pour tout 1 ≤ j ≤ N :
S O H(t)φj(x) = (KH(t, x, .)|φj) L 2 (R p ) = (KH(t, x, .)|φj) L 2 (O) ,
car supp (φj) ⊂ O pour tout 1 ≤ j ≤ n. On note F l’application de Vh dans L2 (O) définie sur la
base des (φj)j, pour toute fonction chapeau φj, 1 ≤ j ≤ N, ∀x ∈ O :
F (φj)(x) = (ΠhKH (t, x, .) |φj) L2 (O) = ΠhKH(t, x, y)φj(y)dy, (2.27)
soit encore, avec les notations des éléments de la matrice de masse M,
= (4πt) −p
2
N
x − xi2
exp −
4t
i=1
O
O
φi(y)φj(y)dy = (4πt) −p
2
N
x − xi2 exp −
4t
Or, pour t > 0, F (φj) est une fonction C ∞ sur O et donc H 2 sur O. Donc la projection Πh dans
l’espace d’approximation Vh de F (φj), 1 ≤ j ≤ N est bien définie, pour tout x ∈ O et on a :
i=1
ΠhF (φj)(x) = Πh (ΠhKH(t, x, .)|φj) L2 (O) , ∀j.
Mij.