Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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2.4.2 Interprétation <strong>de</strong>s éléments <strong>de</strong> <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> 55<br />
(a) Ensemble <strong>de</strong>s données S (b) Mail<strong>la</strong>ge pouvant être associé <strong>à</strong> S<br />
Figure 2.7 – Exemple <strong>de</strong>s donuts<br />
1. il existe <strong>de</strong>ux constantes positives α <strong>et</strong> β ne dépendant pas <strong>de</strong> h telles que ∀K ∈ Th, αh p ≤<br />
|K| ≤ βh p ,<br />
2. il existe un nombre µ > 0 ne dépendant pas <strong>de</strong> h tel que pour tout h un somm<strong>et</strong> quelconque<br />
du mail<strong>la</strong>ge Σh appartient au plus <strong>à</strong> µ éléments K ∈ Th.<br />
Pour t > 0 assez p<strong>et</strong>it, <strong>la</strong> projection <strong>de</strong> l’opérateur S O H (t) appliqué <strong>à</strong> φj, dans <strong>la</strong> base <strong>de</strong> (φk)k, est<br />
définie par :<br />
(4πt) p<br />
2 Πh(S O H(t)φj)(x) =<br />
N<br />
<br />
h3p+2 ((A + IN)M) kj φk(x) + O<br />
t2 <br />
, ∀ 1 ≤ j ≤ N, (2.26)<br />
k=1<br />
où A est <strong>la</strong> matrice affinité définie par (1.1).<br />
Démonstration. D’après <strong>la</strong> définition (2.15) <strong>de</strong> l’opérateur SH(t) restreint <strong>à</strong> l’ouvert O, pour tout<br />
x ∈ O, on a pour tout 1 ≤ j ≤ N :<br />
S O H(t)φj(x) = (KH(t, x, .)|φj) L 2 (R p ) = (KH(t, x, .)|φj) L 2 (O) ,<br />
car supp (φj) ⊂ O pour tout 1 ≤ j ≤ n. On note F l’application <strong>de</strong> Vh dans L2 (O) définie sur <strong>la</strong><br />
base <strong>de</strong>s (φj)j, pour toute fonction chapeau φj, 1 ≤ j ≤ N, ∀x ∈ O :<br />
<br />
F (φj)(x) = (ΠhKH (t, x, .) |φj) L2 (O) = ΠhKH(t, x, y)φj(y)dy, (2.27)<br />
soit encore, avec les notations <strong>de</strong>s éléments <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice <strong>de</strong> masse M,<br />
= (4πt) −p<br />
2<br />
N<br />
<br />
<br />
x − xi2 <br />
exp −<br />
4t<br />
i=1<br />
O<br />
O<br />
φi(y)φj(y)dy = (4πt) −p<br />
2<br />
N<br />
<br />
<br />
x − xi2 exp −<br />
4t<br />
Or, pour t > 0, F (φj) est une fonction C ∞ sur O <strong>et</strong> donc H 2 sur O. Donc <strong>la</strong> projection Πh dans<br />
l’espace d’approximation Vh <strong>de</strong> F (φj), 1 ≤ j ≤ N est bien définie, pour tout x ∈ O <strong>et</strong> on a :<br />
i=1<br />
<br />
ΠhF (φj)(x) = Πh (ΠhKH(t, x, .)|φj) L2 (O) , ∀j.<br />
Mij.