Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

54 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Remarque 2.31. Pour la dimension de l’espace p ∈ {1, 2}, comme les fonctions vn,i sont solutions
de (PL Ω ), elles appartiennent à H1 0 (Ω). Donc par le théorème 2.4, elles sont donc dans C0 (Ω) et
vérifient l’hypothèse du théorème 2.30. Mais comme vn,i vérifient ∆vn,i = λn,ivn,i ∈ L2 (Ω) alors par
la proposition 2.13, on a ∂2 xα,xβvn,i ∈ L2 (Ω), d’où vn,i ∈ H2 (Ω), et ainsi vn,i ∈ C0 (Ω) si p < 4.
Par une récurrence directe, en prenant s > p/4 entier, pour tout α ∈ Ns avec |α| ≤ 2s − 2, on a
∆(∂ |α|
xα1 ,..,xαs vn,i) = ∂ |α|
xα1 ,..,xαs (λn,ivn,i) ∈ L2 (Ω) alors par la proposition 2.13, on a ∂ |α|
xα1 ,..,xαs vn,i ∈
H2s (Ω), et ainsi par le théorème 2.4, on a vn,i ∈ C0 (Ω). Donc, pour tout p, les vn,i satisfont les
conditions de la proposition 2.30.
Corollaire 2.32. Soit u, v ∈ L 2 (O) alors, pour t > 0 :
(u|v) L 2 (O) = (Πhu|Πhv) L 2 (Vh) + O(h 2 ). (2.24)
Démonstration. Par linéarité du produit scalaire, (Πhu|Πhv) L 2 (Vh) − (u|v) L 2 (O) = (Πhu − u, Πhv) −
(u, v − Πhv) L 2 (O). D’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz et l’équation (2.23), il vient |(Πhu −
u, Πhv) L 2 (Vh)| ≤ Πhu−u L 2 (Vh)Πhv L 2 (Vh) ≤ CΠh Ch2 |u| H 2 (O)v L 2 (O). De la même façon, |(u, v−
Πhv) L 2 (O)| ≤ CΠh Ch2 |v| H 2 (O)u L 2 (O). D’où le résultat en sommant les deux termes.
Un maillage régulier est défini comme suit.
Définition 2.33 (Régularité et quasi-uniformité d’un maillage). Une famille de maillages (Th)h est
régulière s’il existe une constante σ0 > 0 telle que :
∀h, ∀K ∈ Th, σK = hK
ρK
≤ σ0, (2.25)
où le diamètre du triangle K, noté hK = diam(K), est la longueur du plus grand côté de K, la
rondeur ρK = sup{diam(B); B boule de R p , B ⊂ K} représente le diamètre de la boule inscrite de
K.
Dans une triangulation isotrope, tous les triangles satisfont l’inégalité (2.25) c’est-à-dire une estimation
uniforme.
2.4.2 Interprétation des éléments de la classification spectrale
On se propose maintenant d’étudier en dimension finie la discrétisation des résultats précédents.
La théorie des éléments finis permet d’introduire l’ensemble de points S = {xi}i=1..N. En effet, on
considère que les noeuds du maillage Σ correspondent aux points de l’ensemble S ⊂ R p comme
le montre la figure 2.7 . De plus, l’hypothèse de régularité du maillage correspond à l’hypothèse
d’isotropie de la distribution des points du chapitre 1 (1.2).
D’après ces notations, le projection par Πh du noyau y ↦→ KH(t, x, y) est définie pour t > 0 par :
Πh(KH(t, x, .))(y) =
1
(4πt) p
2
N
i=1
exp −
x − xi 2
4t
φi(y), ∀y ∈ O.
Alors le projection de l’opérateur solution ΠhSO H (t) est définie dans la proposition suivante :
Proposition 2.34. On effectue les hypothèses de régularité suivantes du maillage :