Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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2.4.1 Eléments finis <strong>de</strong> Lagrange 53<br />
Figure 2.6 – Mail<strong>la</strong>ge du fermé Ō : xi ∈ ◦<br />
Ω, ∀i ∈ {1, ..N}<br />
2. PK est un espace vectoriel <strong>de</strong> dimension finie engendré par les fonctions chapeaux : (φi)i tel<br />
que PK ⊂ H 1 (K),<br />
3. Σ = ∪K∈Th ΣK.<br />
Définition 2.28. (Espace d’approximation) Soit l’espace d’approximation <strong>de</strong> dimension finie :<br />
Vh = {w ∈ C 0 ( Ō); ∀K ∈ Th, w |K ∈ PK}<br />
Pour tout i, 1 ≤ i ≤ N, soit <strong>la</strong> suite <strong>de</strong> fonctions chapeaux Vh, notée (φi) i∈[|1,N|], définie sur O <strong>à</strong><br />
valeur dans R telle que :<br />
φi(xj) = δij, ∀ xj ∈ Σ,<br />
où δij est le symbole <strong>de</strong> Kronecker en (i, j). De plus, φi|K ∈ PK.<br />
L’espace <strong>de</strong> dimension finie Vh est généré par <strong>la</strong> suite (φi)i avec Vh = V ect{φi}i ⊂ L 2 (O).<br />
Le passage <strong>de</strong> <strong>la</strong> dimension infinie C 0 ( Ō) <strong>à</strong> <strong>la</strong> dimension finie Vh est réalisé par un opérateur<br />
d’interpo<strong>la</strong>tion.<br />
Définition 2.29. (Interpo<strong>la</strong>tion <strong>de</strong> Lagrange) Etant donné un élément fini <strong>de</strong> Lagrange (K, P, Σ),<br />
on appelle opérateur d’interpo<strong>la</strong>tion <strong>de</strong> Lagrange, l’opérateur défini sur C 0 ( Ō) <strong>à</strong> valeurs dans Vh qui<br />
<strong>à</strong> toute fonction v définie sur K associe <strong>la</strong> fonction Πhv définie par :<br />
Πhv =<br />
N<br />
v(xi)φi.<br />
i=1<br />
On notera par [Πhv] ∈ R N le vecteur <strong>de</strong>s coordonnées <strong>de</strong> Πhv dans <strong>la</strong> base <strong>de</strong>s (φj)j, <strong>et</strong> le produit<br />
sca<strong>la</strong>ire associé dans R N sera donné par<br />
∀vh, wh ∈ Vh, ([vh]|[wh])M = [wh] T M[vh] = (wh|vh) L 2 (Vh),<br />
où M représente <strong>la</strong> matrice <strong>de</strong> masse <strong>de</strong>s éléments finis : Mij = (φi|φj) L 2. La norme associée <strong>à</strong><br />
(.|.)M sera notée |.|M.<br />
On rappelle <strong>de</strong>s résultats c<strong>la</strong>ssiques sur l’approximation par éléments finis [87] :<br />
Proposition 2.30. Si u ∈ C 0 (O) alors, pour t > 0, il existe une constante strictement positive<br />
C > 0, indépendante du pas <strong>de</strong> discrétisation h telle que :<br />
u − Πhu L 2 (O) ≤ Ch 2 |u| H 2 (O). (2.23)