Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.4.1 Eléments finis de Lagrange 53
Figure 2.6 – Maillage du fermé Ō : xi ∈ ◦
Ω, ∀i ∈ {1, ..N}
2. PK est un espace vectoriel de dimension finie engendré par les fonctions chapeaux : (φi)i tel
que PK ⊂ H 1 (K),
3. Σ = ∪K∈Th ΣK.
Définition 2.28. (Espace d’approximation) Soit l’espace d’approximation de dimension finie :
Vh = {w ∈ C 0 ( Ō); ∀K ∈ Th, w |K ∈ PK}
Pour tout i, 1 ≤ i ≤ N, soit la suite de fonctions chapeaux Vh, notée (φi) i∈[|1,N|], définie sur O à
valeur dans R telle que :
φi(xj) = δij, ∀ xj ∈ Σ,
où δij est le symbole de Kronecker en (i, j). De plus, φi|K ∈ PK.
L’espace de dimension finie Vh est généré par la suite (φi)i avec Vh = V ect{φi}i ⊂ L 2 (O).
Le passage de la dimension infinie C 0 ( Ō) à la dimension finie Vh est réalisé par un opérateur
d’interpolation.
Définition 2.29. (Interpolation de Lagrange) Etant donné un élément fini de Lagrange (K, P, Σ),
on appelle opérateur d’interpolation de Lagrange, l’opérateur défini sur C 0 ( Ō) à valeurs dans Vh qui
à toute fonction v définie sur K associe la fonction Πhv définie par :
Πhv =
N
v(xi)φi.
i=1
On notera par [Πhv] ∈ R N le vecteur des coordonnées de Πhv dans la base des (φj)j, et le produit
scalaire associé dans R N sera donné par
∀vh, wh ∈ Vh, ([vh]|[wh])M = [wh] T M[vh] = (wh|vh) L 2 (Vh),
où M représente la matrice de masse des éléments finis : Mij = (φi|φj) L 2. La norme associée à
(.|.)M sera notée |.|M.
On rappelle des résultats classiques sur l’approximation par éléments finis [87] :
Proposition 2.30. Si u ∈ C 0 (O) alors, pour t > 0, il existe une constante strictement positive
C > 0, indépendante du pas de discrétisation h telle que :
u − Πhu L 2 (O) ≤ Ch 2 |u| H 2 (O). (2.23)