Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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52 C<strong>la</strong>ssification <strong>et</strong> éléments spectraux <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité gaussienne<br />
Remarque 2.26. Le théorème 2.18 pourrait être énoncé sous <strong>la</strong> même forme que le théorème précé<strong>de</strong>nt.<br />
En eff<strong>et</strong>, l’argument d’imposer que vn,i réalise le maximum <strong>de</strong>s produits sca<strong>la</strong>ires (S O H (t)ρ|vn,i) L 2 (O)<br />
n’est pas requis dans l’équivalence <strong>de</strong> (2.21) car ce<strong>la</strong> se simplifie par un test d’égalité <strong>à</strong> 0.<br />
De <strong>la</strong> même manière que pour théorème 2.18, on peut relâcher <strong>la</strong> contrainte <strong>de</strong> l’implication (2.21)<br />
en se limitant <strong>à</strong> <strong>de</strong>man<strong>de</strong>r l’existence d’une suite (εm)m décroissant vers 0 vérifiant <strong>la</strong> propriété.<br />
Corol<strong>la</strong>ire 2.27 (Critère <strong>de</strong> clustering). Pour tout point x ∈ O <strong>et</strong> ε > 0, on notera ρ ε x une<br />
régu<strong>la</strong>risée <strong>de</strong> <strong>la</strong> fonction Dirac centrée en x, c’est-<strong>à</strong>-dire telle que ρx ∈ C ∞ (O, [0, 1]), ρ ε x(x) = 1 <strong>et</strong><br />
supp(ρ ε x) ⊂ B(x, ε).<br />
Il existe une famille <strong>de</strong> fonctions normées, notées vn,i pour i ∈ {1, .., k} <strong>et</strong> n > 0 qui vérifient<br />
(2.17) <strong>et</strong> telles que pour tout x ∈ O <strong>et</strong> pour tout i ∈ {1, .., k} on obtient le résultat suivant :<br />
⎡<br />
∃ε0 > 0, ∃(εm)m ∈]0, ε0[, limm→∞ εm = 0,<br />
⎣ ∃α > 0, ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n > 0, ∀t<br />
<br />
> 0 assez p<strong>et</strong>it,<br />
vn,i = argmax O<br />
{ vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]}<br />
<br />
(SH(t)ρ ε <br />
x| vm,j) L2 <br />
(O) <strong>et</strong> (SO H(t)ρ ε ⎤<br />
⎦<br />
⇐⇒ x ∈ Oi<br />
x|vn,i) L2 <br />
(O) > α<br />
(2.22)<br />
Démonstration. En reprenant <strong>la</strong> preuve <strong>de</strong> l’implication directe dans <strong>la</strong> démonstration du théorème<br />
précé<strong>de</strong>nt, pour une suite <strong>de</strong> valeurs positives (εm)m telle que εm → 0 quand m → ∞, si m est<br />
tel que εm < inf(dx, d0) alors supp(SD(t)ρεm x ) ⊂ Ωj <strong>et</strong> donc, pour n > 0, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (O) =<br />
(η(t, vm,j)|vn,i) L2 (O) tend vers 0 quand t tend vers 0, pour tout m > 0 <strong>et</strong> tout j ∈ {1, .., k}, j = i.<br />
Réciproquement, si x ∈ Oi, par le théorème 2.18, il existe un ε0 > tel que ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n ><br />
0, (SD(t)ρε x|vn,i) L2 (O) = 0. On construit alors <strong>la</strong> suite <strong>de</strong> terme général εm = ε0/m qui vérifie les<br />
hypothèses (2.21).<br />
Dans <strong>la</strong> suite, nous relierons ces propriétés <strong>spectrale</strong>s aux vecteurs propres <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité<br />
A définie par (1.1) en introduisant une représentation en dimension finie via <strong>la</strong> théorie <strong>de</strong>s éléments<br />
finis.<br />
2.4 Propriété <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification en dimension finie<br />
Le passage <strong>à</strong> <strong>la</strong> dimension finie est réalisé par une métho<strong>de</strong> <strong>de</strong> Galerkin [87]. Comme l’objectif<br />
est d’obtenir <strong>de</strong>s valeurs ponctuelles aux points xi donnés, les métho<strong>de</strong>s par éléments finis sont alors<br />
privilégiées. Dans <strong>la</strong> suite, après une présentation <strong>de</strong>s éléments finis <strong>de</strong> Lagrange, les éléments <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> ainsi que <strong>la</strong> propriété <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification seront interprétés en dimension finie.<br />
2.4.1 Eléments finis <strong>de</strong> Lagrange<br />
Soit Σ un ensemble <strong>de</strong> noeuds dans Ō. Dans <strong>la</strong> suite, on prendra les éléments finis tels que<br />
Σ = S = {xi}i=1..N l’ensemble <strong>de</strong>s points utilisés dans l’algorithme 2. Soit Th une triangu<strong>la</strong>tion ou<br />
p-simplexe sur Ō telle que : h = max hK où hK est une gran<strong>de</strong>ur caractéristique du triangle K.<br />
K∈Th<br />
Un mail<strong>la</strong>ge <strong>de</strong> chaque partie <strong>de</strong> l’ensemble Ō est représentée par <strong>la</strong> figure 2.6.<br />
Ainsi, on considère une décomposition finie d’un domaine : Ō = ∪K∈Th K dans lequel (K, PK, ΣK)<br />
satisfait les hypothèses <strong>de</strong>s éléments finis <strong>de</strong> Lagrange pour tout K ∈ Th, d’après [87] :<br />
1. K est un compact, ensemble non-vi<strong>de</strong> <strong>de</strong> Th tel que supp(K) ⊂ O,