Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

52 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Remarque 2.26. Le théorème 2.18 pourrait être énoncé sous la même forme que le théorème précédent.
En effet, l’argument d’imposer que vn,i réalise le maximum des produits scalaires (S O H (t)ρ|vn,i) L 2 (O)
n’est pas requis dans l’équivalence de (2.21) car cela se simplifie par un test d’égalité à 0.
De la même manière que pour théorème 2.18, on peut relâcher la contrainte de l’implication (2.21)
en se limitant à demander l’existence d’une suite (εm)m décroissant vers 0 vérifiant la propriété.
Corollaire 2.27 (Critère de clustering). Pour tout point x ∈ O et ε > 0, on notera ρ ε x une
régularisée de la fonction Dirac centrée en x, c’est-à-dire telle que ρx ∈ C ∞ (O, [0, 1]), ρ ε x(x) = 1 et
supp(ρ ε x) ⊂ B(x, ε).
Il existe une famille de fonctions normées, notées vn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 qui vérifient
(2.17) et telles que pour tout x ∈ O et pour tout i ∈ {1, .., k} on obtient le résultat suivant :
⎡
∃ε0 > 0, ∃(εm)m ∈]0, ε0[, limm→∞ εm = 0,
⎣ ∃α > 0, ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n > 0, ∀t
> 0 assez petit,
vn,i = argmax O
{ vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]}
(SH(t)ρ ε
x| vm,j) L2
(O) et (SO H(t)ρ ε ⎤
⎦
⇐⇒ x ∈ Oi
x|vn,i) L2
(O) > α
(2.22)
Démonstration. En reprenant la preuve de l’implication directe dans la démonstration du théorème
précédent, pour une suite de valeurs positives (εm)m telle que εm → 0 quand m → ∞, si m est
tel que εm < inf(dx, d0) alors supp(SD(t)ρεm x ) ⊂ Ωj et donc, pour n > 0, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (O) =
(η(t, vm,j)|vn,i) L2 (O) tend vers 0 quand t tend vers 0, pour tout m > 0 et tout j ∈ {1, .., k}, j = i.
Réciproquement, si x ∈ Oi, par le théorème 2.18, il existe un ε0 > tel que ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n >
0, (SD(t)ρε x|vn,i) L2 (O) = 0. On construit alors la suite de terme général εm = ε0/m qui vérifie les
hypothèses (2.21).
Dans la suite, nous relierons ces propriétés spectrales aux vecteurs propres de la matrice affinité
A définie par (1.1) en introduisant une représentation en dimension finie via la théorie des éléments
finis.
2.4 Propriété de classification en dimension finie
Le passage à la dimension finie est réalisé par une méthode de Galerkin [87]. Comme l’objectif
est d’obtenir des valeurs ponctuelles aux points xi donnés, les méthodes par éléments finis sont alors
privilégiées. Dans la suite, après une présentation des éléments finis de Lagrange, les éléments de la
classification spectrale ainsi que la propriété de classification seront interprétés en dimension finie.
2.4.1 Eléments finis de Lagrange
Soit Σ un ensemble de noeuds dans Ō. Dans la suite, on prendra les éléments finis tels que
Σ = S = {xi}i=1..N l’ensemble des points utilisés dans l’algorithme 2. Soit Th une triangulation ou
p-simplexe sur Ō telle que : h = max hK où hK est une grandeur caractéristique du triangle K.
K∈Th
Un maillage de chaque partie de l’ensemble Ō est représentée par la figure 2.6.
Ainsi, on considère une décomposition finie d’un domaine : Ō = ∪K∈Th K dans lequel (K, PK, ΣK)
satisfait les hypothèses des éléments finis de Lagrange pour tout K ∈ Th, d’après [87] :
1. K est un compact, ensemble non-vide de Th tel que supp(K) ⊂ O,