Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.3.4 Classification via l’opérateur de la chaleur dans R p 51
La proposition 1 montre que l’opérateur SO H (t) admet "quasiment" des fonctions propres qui
sont égales à celles du problème de la chaleur avec conditions de Dirichlet restreintes à Oi ⊂ Ωi.
De plus, la proximité avec les fonctions propres du problème avec conditions de Dirichlet dépend
du paramètre t. Enfin, comme ces fonctions propres vn,i ont leur support inclus sur une seule
composante connexe, cette propriété peut être utilisée pour caractériser si un point appartient à un
ouvert Ωi ou non.
Remarque 2.24. Une hypothèse sur le paramètre t doit être définie pour préserver le résultat
asymptotique de la proposition 1 : t doit tendre vers 0 plus vite que δ 2 c’est-à-dire :
t 0, on note ρ ε x une
régularisée de la fonction Dirac centrée en x, c’est-à-dire telle que ρx ∈ C ∞ (O, [0, 1]), ρ ε x(x) = 1 et
supp(ρ ε x) ⊂ B(x, ε).
Il existe une famille de fonctions normées, notées vn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 qui vérifient
(2.17) et telles que pour tout x ∈ O et pour tout i ∈ {1, .., k} on obtient le résultat suivant :
∃ε0 > 0, ∃α > 0, ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n
> 0, ∀t > 0 assez petit,
vn,i = argmax O
{ vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]}
(SH(t)ρ ɛ
x| vm,j) L2
(O) et (SO H(t)ρ ε
x|vn,i) L2 ⇐⇒ x ∈ Oi
(O) > α
(2.21)
Démonstration. On considère la famille des vn,i décrits dans la proposition 2.23.
On démontre par la contraposée le sens direct de l’équivalence. Soit donc i ∈ {1.., k} et un point
x ∈ Oj avec j quelconque, j = i. Soit dx = d(x, ∂Oj) > 0 la distance de x au bord de Oj. Par
hypothèse sur Ω, on a d0 = d(Oi, Oj) > 0. Donc pour tout ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Oj. Alors
pour tout t > 0, supp(S O D (t)ρε x) ⊂ Oj et donc, d’après la proposition 2.16, pour n > 0, pour tout
m > 0 et pour tout j ∈ {1, .., k}, j = i, on a :
(S O H(t) vm,j|vn,i) L 2 (O) = (η(t, vm,j)|vn,i) L 2 (O).
Quand t tend vers 0, d’après la proposition 2.23, (η(t, vm,j)|vn,i) L2 (O) tend vers 0, pour tout
m > 0 et tout j ∈ {1, .., k}, j = i. Il n’existe donc pas de wm ′ ,j ′, j′ = i et de α > 0 tel que
(SO H (t) vm ′ ,j ′|vn,i) L2 (O) > α pour tout t.
Réciproquement, soit x ∈ Oi et soit ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Oi. Le support de ρε x est
dans Ωi. Comme les (vn,i)n>0 sont une base hilbertienne de L2 (Ωi) et que ρε x(x) = 1 = 0 alors
il existe un n > 0 tel que (ρε x|vn,i) = 0 (sinon ρε x serait la fonction identiquement nulle sur
Oi). Dans ce cas, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (Ω) = e−λn,it (ρε x|vn,i) + (η(t, vn,i)|vn,i) = 0. Quand t tend vers
0, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (Ω) → (ρε x|vn,i) donc en particulier, pour t assez petit, (SO H (t)ρε
x|vn,i) L2
(Ω) >
|(ρε x|vn,i)| /2 > 0. A contrario, pour tout j = i, pour tout m>0, (SH(t) vm,j|vn,i) L2 (O) → 0 quand
t → 0 et donc, pour t assez petit, (SO H (t)ρε
x| vm,j) L2
(Ω) < |(ρε x|vn,i)| /2 = α.
Soit Tα = { vm,j, (SO H (t)ρε
x| vm,j) L2
(O) > α}. Par ce qui précède, Tα = ∅ et n’est composé que de
(vn,i)n. Par ailleurs, Tα est fini car
Donc argmax { vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]}
∞ > S O H(t)ρ ε x ≥
vn,i∈Tα
(S O H(t)ρ ε x| vm,j) L 2 (O)
(SO H (t)ρ| vm,j) L2
(O) existe.
≥ #Tα α.