Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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50 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne Propriété de classification Dans la suite, on considère l’opérateur solution de la chaleur SH(t)f et son support est restreint à l’ouvert Oi, pour i ∈ {1, .., k}. Pour cela on introduit les notations suivantes. Pour toute fonction f ∈ L 2 (Θ) où Θ est un ouvert quelconque de R p , l’opérateur SH restreint à Θ est défini par : S Θ H(t)f(x) = Θ KH(t, x, y)f(y)dy, x ∈ Θ. (2.15) Enfin, d’après (2.2), on définit Ti, pour i ∈ {1, .., k}, un opérateur L2 de prolongement de L2 (Oi) dans L2 (Ω) qui étend le support de toute fonction u ∈ L2 (Oi) à l’ouvert entier Ω avec : ∀u ∈ L 2 (Oi), Ti(u) = u sur Oi, 0 sur Ω\Oi. Avec ces notations, on peut démontrer la proposition suivante : (2.16) Proposition 2.23. Soient i ∈ {1, .., k} et vn,i = Ti(vn,i|Oi ) où vn,i est la fonction propre normée dans H2 (Ωi)∩H 1 0 (Ωi) associée à la valeur propre e−λn,it Ωi pour l’opérateur SD . Alors, pour 0 < t
2.3.4 Classification via l’opérateur de la chaleur dans R p 51 La proposition 1 montre que l’opérateur SO H (t) admet "quasiment" des fonctions propres qui sont égales à celles du problème de la chaleur avec conditions de Dirichlet restreintes à Oi ⊂ Ωi. De plus, la proximité avec les fonctions propres du problème avec conditions de Dirichlet dépend du paramètre t. Enfin, comme ces fonctions propres vn,i ont leur support inclus sur une seule composante connexe, cette propriété peut être utilisée pour caractériser si un point appartient à un ouvert Ωi ou non. Remarque 2.24. Une hypothèse sur le paramètre t doit être définie pour préserver le résultat asymptotique de la proposition 1 : t doit tendre vers 0 plus vite que δ 2 c’est-à-dire : t 0, on note ρ ε x une régularisée de la fonction Dirac centrée en x, c’est-à-dire telle que ρx ∈ C ∞ (O, [0, 1]), ρ ε x(x) = 1 et supp(ρ ε x) ⊂ B(x, ε). Il existe une famille de fonctions normées, notées vn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 qui vérifient (2.17) et telles que pour tout x ∈ O et pour tout i ∈ {1, .., k} on obtient le résultat suivant : ∃ε0 > 0, ∃α > 0, ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n > 0, ∀t > 0 assez petit, vn,i = argmax O { vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]} (SH(t)ρ ɛ x| vm,j) L2 (O) et (SO H(t)ρ ε x|vn,i) L2 ⇐⇒ x ∈ Oi (O) > α (2.21) Démonstration. On considère la famille des vn,i décrits dans la proposition 2.23. On démontre par la contraposée le sens direct de l’équivalence. Soit donc i ∈ {1.., k} et un point x ∈ Oj avec j quelconque, j = i. Soit dx = d(x, ∂Oj) > 0 la distance de x au bord de Oj. Par hypothèse sur Ω, on a d0 = d(Oi, Oj) > 0. Donc pour tout ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Oj. Alors pour tout t > 0, supp(S O D (t)ρε x) ⊂ Oj et donc, d’après la proposition 2.16, pour n > 0, pour tout m > 0 et pour tout j ∈ {1, .., k}, j = i, on a : (S O H(t) vm,j|vn,i) L 2 (O) = (η(t, vm,j)|vn,i) L 2 (O). Quand t tend vers 0, d’après la proposition 2.23, (η(t, vm,j)|vn,i) L2 (O) tend vers 0, pour tout m > 0 et tout j ∈ {1, .., k}, j = i. Il n’existe donc pas de wm ′ ,j ′, j′ = i et de α > 0 tel que (SO H (t) vm ′ ,j ′|vn,i) L2 (O) > α pour tout t. Réciproquement, soit x ∈ Oi et soit ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Oi. Le support de ρε x est dans Ωi. Comme les (vn,i)n>0 sont une base hilbertienne de L2 (Ωi) et que ρε x(x) = 1 = 0 alors il existe un n > 0 tel que (ρε x|vn,i) = 0 (sinon ρε x serait la fonction identiquement nulle sur Oi). Dans ce cas, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (Ω) = e−λn,it (ρε x|vn,i) + (η(t, vn,i)|vn,i) = 0. Quand t tend vers 0, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (Ω) → (ρε x|vn,i) donc en particulier, pour t assez petit, (SO H (t)ρε x|vn,i) L2 (Ω) > |(ρε x|vn,i)| /2 > 0. A contrario, pour tout j = i, pour tout m>0, (SH(t) vm,j|vn,i) L2 (O) → 0 quand t → 0 et donc, pour t assez petit, (SO H (t)ρε x| vm,j) L2 (Ω) < |(ρε x|vn,i)| /2 = α. Soit Tα = { vm,j, (SO H (t)ρε x| vm,j) L2 (O) > α}. Par ce qui précède, Tα = ∅ et n’est composé que de (vn,i)n. Par ailleurs, Tα est fini car Donc argmax { vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]} ∞ > S O H(t)ρ ε x ≥ vn,i∈Tα (S O H(t)ρ ε x| vm,j) L 2 (O) (SO H (t)ρ| vm,j) L2 (O) existe. ≥ #Tα α.
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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