50 C<strong>la</strong>ssification <strong>et</strong> éléments spectraux <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité gaussienne Propriété <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification Dans <strong>la</strong> suite, on considère l’opérateur solution <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur SH(t)f <strong>et</strong> son support est restreint <strong>à</strong> l’ouvert Oi, pour i ∈ {1, .., k}. Pour ce<strong>la</strong> on introduit les notations suivantes. Pour toute fonction f ∈ L 2 (Θ) où Θ est un ouvert quelconque <strong>de</strong> R p , l’opérateur SH restreint <strong>à</strong> Θ est défini par : S Θ H(t)f(x) = Θ KH(t, x, y)f(y)dy, x ∈ Θ. (2.15) Enfin, d’après (2.2), on définit Ti, pour i ∈ {1, .., k}, un opérateur L2 <strong>de</strong> prolongement <strong>de</strong> L2 (Oi) dans L2 (Ω) qui étend le support <strong>de</strong> toute fonction u ∈ L2 (Oi) <strong>à</strong> l’ouvert entier Ω avec : ∀u ∈ L 2 (Oi), Ti(u) = u sur Oi, 0 sur Ω\Oi. Avec ces notations, on peut démontrer <strong>la</strong> proposition suivante : (2.16) Proposition 2.23. Soient i ∈ {1, .., k} <strong>et</strong> vn,i = Ti(vn,i|Oi ) où vn,i est <strong>la</strong> fonction propre normée dans H2 (Ωi)∩H 1 0 (Ωi) associée <strong>à</strong> <strong>la</strong> valeur propre e−λn,it Ωi pour l’opérateur SD . Alors, pour 0 < t
2.3.4 C<strong>la</strong>ssification via l’opérateur <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur dans R p 51 La proposition 1 montre que l’opérateur SO H (t) adm<strong>et</strong> "quasiment" <strong>de</strong>s fonctions propres qui sont égales <strong>à</strong> celles du problème <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur avec conditions <strong>de</strong> Dirichl<strong>et</strong> restreintes <strong>à</strong> Oi ⊂ Ωi. De plus, <strong>la</strong> proximité avec les fonctions propres du problème avec conditions <strong>de</strong> Dirichl<strong>et</strong> dépend du paramètre t. Enfin, comme ces fonctions propres vn,i ont leur support inclus sur une seule composante connexe, c<strong>et</strong>te propriété peut être utilisée pour caractériser si un point appartient <strong>à</strong> un ouvert Ωi ou non. Remarque 2.24. Une hypothèse sur le paramètre t doit être définie pour préserver le résultat asymptotique <strong>de</strong> <strong>la</strong> proposition 1 : t doit tendre vers 0 plus vite que δ 2 c’est-<strong>à</strong>-dire : t 0, on note ρ ε x une régu<strong>la</strong>risée <strong>de</strong> <strong>la</strong> fonction Dirac centrée en x, c’est-<strong>à</strong>-dire telle que ρx ∈ C ∞ (O, [0, 1]), ρ ε x(x) = 1 <strong>et</strong> supp(ρ ε x) ⊂ B(x, ε). Il existe une famille <strong>de</strong> fonctions normées, notées vn,i pour i ∈ {1, .., k} <strong>et</strong> n > 0 qui vérifient (2.17) <strong>et</strong> telles que pour tout x ∈ O <strong>et</strong> pour tout i ∈ {1, .., k} on obtient le résultat suivant : ∃ε0 > 0, ∃α > 0, ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n > 0, ∀t > 0 assez p<strong>et</strong>it, vn,i = argmax O { vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]} (SH(t)ρ ɛ x| vm,j) L2 (O) <strong>et</strong> (SO H(t)ρ ε x|vn,i) L2 ⇐⇒ x ∈ Oi (O) > α (2.21) Démonstration. On considère <strong>la</strong> famille <strong>de</strong>s vn,i décrits dans <strong>la</strong> proposition 2.23. On démontre par <strong>la</strong> contraposée le sens direct <strong>de</strong> l’équivalence. Soit donc i ∈ {1.., k} <strong>et</strong> un point x ∈ Oj avec j quelconque, j = i. Soit dx = d(x, ∂Oj) > 0 <strong>la</strong> distance <strong>de</strong> x au bord <strong>de</strong> Oj. Par hypothèse sur Ω, on a d0 = d(Oi, Oj) > 0. Donc pour tout ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Oj. Alors pour tout t > 0, supp(S O D (t)ρε x) ⊂ Oj <strong>et</strong> donc, d’après <strong>la</strong> proposition 2.16, pour n > 0, pour tout m > 0 <strong>et</strong> pour tout j ∈ {1, .., k}, j = i, on a : (S O H(t) vm,j|vn,i) L 2 (O) = (η(t, vm,j)|vn,i) L 2 (O). Quand t tend vers 0, d’après <strong>la</strong> proposition 2.23, (η(t, vm,j)|vn,i) L2 (O) tend vers 0, pour tout m > 0 <strong>et</strong> tout j ∈ {1, .., k}, j = i. Il n’existe donc pas <strong>de</strong> wm ′ ,j ′, j′ = i <strong>et</strong> <strong>de</strong> α > 0 tel que (SO H (t) vm ′ ,j ′|vn,i) L2 (O) > α pour tout t. Réciproquement, soit x ∈ Oi <strong>et</strong> soit ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Oi. Le support <strong>de</strong> ρε x est dans Ωi. Comme les (vn,i)n>0 sont une base hilbertienne <strong>de</strong> L2 (Ωi) <strong>et</strong> que ρε x(x) = 1 = 0 alors il existe un n > 0 tel que (ρε x|vn,i) = 0 (sinon ρε x serait <strong>la</strong> fonction i<strong>de</strong>ntiquement nulle sur Oi). Dans ce cas, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (Ω) = e−λn,it (ρε x|vn,i) + (η(t, vn,i)|vn,i) = 0. Quand t tend vers 0, (SO H (t)ρεx|vn,i) L2 (Ω) → (ρε x|vn,i) donc en particulier, pour t assez p<strong>et</strong>it, (SO H (t)ρε x|vn,i) L2 (Ω) > |(ρε x|vn,i)| /2 > 0. A contrario, pour tout j = i, pour tout m>0, (SH(t) vm,j|vn,i) L2 (O) → 0 quand t → 0 <strong>et</strong> donc, pour t assez p<strong>et</strong>it, (SO H (t)ρε x| vm,j) L2 (Ω) < |(ρε x|vn,i)| /2 = α. Soit Tα = { vm,j, (SO H (t)ρε x| vm,j) L2 (O) > α}. Par ce qui précè<strong>de</strong>, Tα = ∅ <strong>et</strong> n’est composé que <strong>de</strong> (vn,i)n. Par ailleurs, Tα est fini car Donc argmax { vm,j,m∈N,j∈[|1,k|]} ∞ > S O H(t)ρ ε x ≥ vn,i∈Tα (S O H(t)ρ ε x| vm,j) L 2 (O) (SO H (t)ρ| vm,j) L2 (O) existe. ≥ #Tα α.