Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

48 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Démonstration. En reprenant la preuve de l’implication directe dans la démonstration du théorème
précédent, on monte que pour une suite de valeurs positives (εm)m telle que εm → 0 quand
m → ∞, si m est tel que εm < inf(dx, d0) alors supp(SD(t)ρ εm
x ) ⊂ Ωj et donc, pour n > 0,
(SD(t)ρ ε x|vn,i) L 2 (Ω) = 0.
Réciproquement, si x ∈ Ωi, par le théorème 2.18, il existe un ε0 > tel que ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n >
0, (SD(t)ρ ε x|vn,i) L 2 (Ω) = 0. On construit alors la suite de terme général εm = ε0/m vérifie les
hypothèses (2.7).
2.3.4 Classification via l’opérateur de la chaleur dans R p
Dans la suite, on considère l’équation de la chaleur définie sur R p . Un lien entre l’opérateur de
la chaleur dans R p et celui dans Ω est étudié en comparant les noyaux de Green respectifs et en
définissant une propriété de clustering pour ce nouvel opérateur.
Approximation de noyaux de la chaleur
Le coefficient de l’affinité Gaussienne Aij défini dans (1.1) peut être interprété comme une
représentation du noyau de la chaleur évaluée aux points xi
et xj. En effet, soit KH(t, x) =
p
− (4πt) 2 exp
− |x|2
4t
le noyau de la chaleur défini sur R + \{0} × R p . Notons que l’affinité Gaus-
sienne entre deux points distincts xi et xj est définie par Aij = (2πσ2 ) 2 KH(σ2 /2, xi, xj). On
considère maintenant le problème (PRp) d’équation de chaleur dans L2 (Rp ), pour f ∈ L2 (Rp ) :
(PRp)
∂tu − ∆u = 0 pour (x, t) ∈ R p × R + \{0},
u(x, 0) = f pour x ∈ Rp ,
Par le théorème 2.9, on sait qu’il existe, pour tout f ∈ C∞ ([0, +∞[; H), une unique fonction
u ∈ H2 ([0, +∞[; H). On introduit alors l’opérateur solution dans L2 (Rp ) de (PRp) :
(SH(t)f)(x) = (KH(t, x, .)|f) L2 (Rp ) = KH(t, x, y)f(y)dy, x ∈ R p . (2.10)
Formellement, pour f(y) = δxj (y) où δxj représente la fonction Dirac en xj, on observe que :
SH
σ 2
2
R p
σ2 f (xi) = KH
2 , xi,
xj = 2πσ 2 p
2 (A + In) ij . (2.11)
Ainsi, les propriétés spectrales de la matrice A utilisées dans l’algorithme de clustering spectral
semblent être reliées à celles de l’opérateur SH(t).
Contrairement à la section précédente, on ne peut pas déduire des propriétés similaires comme pour
l’opérateur solution de (P D Ω ) car le spectre de l’opérateur SH(t) est essentiel et ses fonctions propres
ne sont pas localisées dans Rp sans conditions aux frontières. Cependant, les opérateurs SH(t) et
SΩ D (t), pour des valeurs fixes de t, peuvent être comparés et des propriétés asymptotiques sur SH(t)
(t) peuvent être établies.
qui approchent les propriétés précédemment analysées de S Ω D
Pour ε > 0, on définit pour tout i un ouvert Oi qui approche de l’intérieur l’ouvert Ωi c’est-à-dire
telle que Oi ⊂ Ōi ⊂ Ωi et Volume(Ωi\Oi) ≤ ε. Notons δi(y), la distance d’un point y ∈ Oi à la
frontière ∂Ωi de Ωi et δi = infy∈Oi la distance de Oi à Ωi, représentée par la figure 2.5. Par la suite,
on notera δ = infi δi > 0 et O =
i Oi ⊂ Ō ⊂ Ω. Enfin, l’ouvert Oi est supposé être choisi tel que
δ > 0.
− p