Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.3.3 Classification via l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet 47
Propriété de clustering
A partir de cette propriété géométrique 2.14 sur les fonctions propres de l’opérateur de la chaleur
avec conditions de Dirichlet, un critère de clustering sur l’espace de projection spectrale peut
maintenant être établi.
Théorème 2.18 (Critère de clustering). Pour tout point x ∈ Ω et ε > 0, on notera ρ ε x une
régularisée de la fonction Dirac centrée en x, c’est-à-dire telle que ρx ∈ C ∞ (Ω, [0, 1]), ρ ε x(x) = 1 et
supp(ρ ε x) ⊂ B(x, ε).
Il existe une famille de fonctions vn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 qui vérifient (2.6) et telles que
pour tout x ∈ Ω et pour tout i ∈ {1, .., k} et pour tout t > 0, on obtient le résultat suivant :
où (f|g) L 2 (Ω) =
∃ε0 > 0, ∀ε ∈]0, ε0[, ∃n > 0, (SD(t)ρ ε x|vn,i) L 2 (Ω) = 0 ⇐⇒ x ∈ Ωi
Ω f(y)g(y)dy, ∀(f, g) ∈ L2 (Ω) est le produit scalaire L 2 usuel.
Démonstration. On considère la famille des vn,i fonctions propres de S Ωi décrits par la proposition
D
2.16.
On démontre par la contraposée le sens direct de l’équivalence. Soit donc i ∈ {1.., k} et un
point x ∈ Ωj avec j quelconque, j = i. Soit dx = d(x, ∂Ωj) > 0 la distance de x au bord de Ωj.
Par hypothèse sur Ω, on a d0 = d(Ωi, Ωj) > 0. Donc pour tout ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Ωj.
Alors pour tout t > 0, supp(SD(t)ρε x) ⊂ Ωj et donc, d’après la proposition 2.16, pour n > 0,
(SD(t)ρε x|vn,i) L2 (Ω) = 0. Donc il n’existe pas de ε0 > 0 qui vérifie la première partie de l’implication
(2.7).
Réciproquement, soit x ∈ Ωi et ε ∈]0, inf(dx, d0)[, B(x, ε) ⊂ Ωi. Donc le support de ρε x est dans
Ωi. Comme les (vn,i)n>0 sont une base hilbertienne de L2 (Ωi) et que ρε x(x) = 1 = 0 alors il existe
un n > 0 tel que (ρε x|vn,i) = 0 (sinon ρε x serait la fonction identiquement nulle sur Ωi). Dans ce cas
là, (SD(t)ρε x|vn,i) L2 (Ω) = e−λn,it (ρε x|vn,i) = 0.
Remarque 2.19. A titre d’exemple, on peut considérer ρ ε x une fonction régularisante positive centrée
en x, C ∞ sur Ω et dont le support est inclus dans Ωi, par exemple : pour ε > 0 assez petit,
ρ ε ⎧
⎨
1
exp −
x(z) =
⎩
0, for |z| ≥ ε.
− |z−x|
ε +1
, pour |z| < ε,
On peut encore relâcher la contrainte de l’implication (2.7) en se limitant à demander l’existence
d’une suite (εm)m décroissant vers 0 vérifiant la propriété. Cette relaxation élargit l’éventail des
fonctions régularisantes susceptibles de vérifier le critère de clustering.
Corollaire 2.20 (Critère de clustering). Pour tout point x ∈ Ω et ε > 0, on notera ρ ε x une
régularisée de la fonction Dirac centrée en x, c’est-à-dire telle que ρx ∈ C ∞ (Ω, [0, 1]), ρ ε x(x) = 1 et
suppρ ε x ⊂ B(x, ε).
Il existe une famille de fonctions vn,i pour i ∈ {1, .., k} et n > 0 qui vérifient (2.6) et telles que
pour tout x ∈ Ω et pour tout i ∈ {1, .., k} et pour tout t > 0, on obtient le résultat suivant :
∃ε0 > 0, ∃(εm)m ∈]0, ε0[, lim
m→∞ εm = 0, ∃n > 0, (SD(t)ρ εm
x |vn,i) L2 (Ω) = 0 ⇐⇒ x ∈ Ωi (2.9)
où (f|g) L 2 (Ω) =
Ω f(y)g(y)dy, ∀(f, g) ∈ L2 (Ω) est le produit scalaire L 2 usuel.
(2.7)
(2.8)