Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

46 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
En outre, cette fonction u est donnée par :
∞
u(t, x) =
n=0
(f|vn) H 1 0 e −λnt vn(x), pour tout t > 0, x ∈ Ω (2.5)
où les vn sont les fonctions vérifiant (PL Ω ) et les séries sont convergentes sur H1 0 (Ω).La fonction u
est appelée solution du problème de la chaleur sur Ω avec une donnée initiale f et des conditions de
Dirichlet.
Démonstration. L’opérateur de Laplace −∆ est injectif, compact, autoadjoint positif sur H 1 0 (Ω)
d’après la proposition 2.11. Donc d’après le théorème 2.9 de Hille-Yosida, il existe une unique
fonction u à valeurs dans H1 0 (Ω) telle que :
∂tu − ∆u = 0 sur R + × Ω,
u(t = 0) = f, sur Ω.
Soit u(t, x) définie par (2.5). Alors comme les vn vérifient (P L Ω
−∆u(x, t) = −
∞
n=0
(f|vn) H 1 0 e −tλn ∆vn(x) =
De plus, la dérivée partielle par rapport à t est égale à :
∞
∂tu(t, x) = −
n=0
∞
n=0
) on a :
(f|vn) H 1 0 λne −tλn vn(x)
(f|vn) H 1 0 e −tλn λnvn(x).
En sommant les deux termes, on obtient : (∂t − ∆)u(x, t) = 0 et u(t = 0) = f. C’est donc la
solution.
Proposition 2.17. Soit l’opérateur solution à valeurs dans H2 (Ω) ∩ H1 0 (Ω) associé au problème
(PD Ω ) défini, pour f ∈ L2 (Ω), par :
S Ω
D(t)f(x) =
où K Ω D est le noyau de Green du problème (PD Ω
Ω
KD(t, x, y)f(y)dy, x ∈ R p ,
vn vérifiant (P L Ω ) sont fonctions propres de l’opérateur SΩ D
n > 0,
). Alors les fonctions propres de l’opérateur de Laplace
(t) c’est-à-dire : pour tout i ∈ {1, .., k} et
S Ω D(t)vn,i = e −λn,it vn,i. (2.6)
Démonstration. Soit vm vérifiant (PL Ω ) les fonctions propres de l’opérateur de Laplace, pour tout
m > 0. D’après l’unicité de solution (proposition 2.16), on a : SΩ Dvm = ∞ n=0 (vm|vn) H1e 0 −tλnvn(x). Or, d’après la proposition 2.14, les (vn)n décrivent une base Hilbertienne normée de H1 0 (Ω) donc :
pour tout m > 0,
S Ω D(t)vm = e −tλm vm(x).
Donc les fonctions propres (vn)n de l’opérateur −∆ sont fonctions propres de (P D Ω ).
Dans la suite, on note KΩ D le noyau de Green du problème (PD Ω ). Les fonctions propres de l’opérateur
SΩ D (t) et celles de l’opérateur de Laplace ∆ sont les mêmes. Ainsi, si vn est une fonction
propre de (P L Ω ) associée à la valeur propre λn alors vn est aussi fonction propre de S Ω D
(t) associée à
la valeur propre exp −tλn dans le sens que S Ω D (t)vn(x) = e −tλn vn(x). Alors la propriété géométrique
sur les fonctions propres est préservée, i.e le support des fonctions propres peut être définie sur une
seule composante connexe Ωi, pour i ∈ {1, .., k}.