Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.3.3 Classification via l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet 45
(a) Sommes des fonctions propres discrétisées
V1,1 associées aux deux premières valeurs
propres
Figure 2.4 – Exemple des donuts
(b) Fonction propre discrétisée V1,2 associée à
la septième plus grande valeur propre
Remarque 2.15. L’exemple précédent montre que les premières fonctions propres à support sur
les différentes composantes connexes ne sont pas associées aux plus grandes valeurs propres : la
deuxième composante connexe correspond (figure 2.4 (b)) à la 7ème plus grande valeur propre de
{λn, n ∈ N}. Cela permet de soulever le rôle de la normalisation dans l’algorithme 1 de spectral
clustering. La normalisation permet de classer les 2 premières fonctions propres, associées aux plus
grandes valeurs propres, comme étant la plus grande fonction propre sur chaque composante connexe
Ω1 et Ω2.
Maintenant, il faut lier les fonctions propres de l’opérateur de Laplace avec conditions de Dirichlet
avec celles de l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet.
2.3.3 Classification via l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet
Comme pour l’opérateur de Dirichlet, l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet est
d’abord introduit avant d’étudier une propriété de clustering sur ses fonctions propres.
Opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet
Soit f ∈ L 2 (Ω), on considère maintenant l’équation de la chaleur avec conditions de Dirichlet
sur la frontière de l’ouvert borné k
i=1 Ωi :
(P D Ω )
⎧
⎪⎨ ∂tu − ∆u = 0 sur R
⎪⎩
+ × Ω,
u = 0, sur R + × ∂Ω,
u(t = 0) = f, sur Ω.
Alors l’opérateur solution de ce problème est défini comme suit [60] :
Proposition 2.16. Soit f ∈ H1 0
dans H1 0
(Ω). Il existe une unique fonction u définie sur [0, +∞[ à valeur
(Ω), différentiable sur [O, +∞[ et satisfaisant les conditions suivantes :
– ∂tu = ∆u(t) pour tout t > 0.
– limt→0 + u(t) = f dans H1 0 (Ω).