Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

44 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Propriété des fonctions propres de l’opérateur de Laplace
Dans un soucis de clarté, nous fixons, pour la suite, le nombre de clusters à k. Considérons
alors un ouvert Ω de Rp constitué de k ouverts connexes distincts, notés Ω1, ..Ωk. La frontière
∂Ω = k i=1 ∂Ωi avec k i=1 ∂Ωi = ∅ est supposée suffisamment régulière telle que l’opérateur trace
soit bien posé sur ∂Ω et la décomposition spectrale de l’opérateur Laplacien soit bien définie. Dans
ce cas, la frontière ∂Ω sera supposée au moins C1 sur ∂Ωi, pour i = {1, .., k}. On considère le
problème (PL Ω ) :
(P L ⎧
⎪⎨ Trouver λn et vn ∈ H
Ω)
⎪⎩
1 0 (Ω),
−∆vn = λnvn sur Ω,
vn = 0 sur ∂Ω,
et les problèmes sur les Ωi respectivement pour i = {1, .., k} :
(P L Ωi )
⎧
⎪⎨
−∆vn,i = λn,ivn,i sur Ωi,
⎪⎩
vn,i = 0 sur ∂Ωi.
Trouver λn,i et vn,i ∈ H 1 0 (Ωi),
D’après [60], déterminer les valeurs propres (λn)n>0 et les fonctions propres associées (vn)n>0 du
problème (PL Ω ) suivant est équivalent à définir une fonction dépendant des valeurs propres (λn,i)n>0
des fonctions propres du Laplacien avec conditions de Dirichlet respectivement sur Ωi, pour i =
{1, .., k}. Ce résultat est énoncé dans la proposition suivante :
Proposition 2.14. Si u ∈ H1 0 (Ω) alors −∆u = λu sur Ω si et seulement si :
ui = u |Ωi ∈ H1 0 (Ω) vérifie − ∆ui = λui sur Ωi, pour i = {1, .., k}.
Soit encore {λn, n ∈ N} = k
i=1 {λn,i, n ∈ N}.
Démonstration. Si on considère vn,i solution sur Ωi de (PL ), une fonction propre de l’opérateur
Ωi
Laplacien ∆ associée à la valeur propre λn,i et si le support de vn,i ∈ Ωi est étendu du l’ensemble
Ω en imposant :
∀i ∈ {1, .., k}, vn,i =
vn,i sur Ωi,
0 sur Ω\Ωi
alors vn,i est aussi fonction propre du Laplacien −∆ dans H1 0 (Ω) associée à la même valeur propre
λn,i.
Réciproquement, tant que les Ωi sont disjoints pour i = {1, .., k}, l’extension par 0 à l’ensemble
(Ω) d’après [26]. Par conséquent, la
entier Ω d’une fonction de H1 0 (Ωi) est une fonction de H1 0
réunion de deux ensembles de fonctions propres {(vn,i)n>0, i ∈ {1, .., k}} est une base Hilbertienne
de H1 0 (Ω).
Cette propriété est illustrée dans la figure 2.4 dans le cadre de donuts via une discrétisation par
éléments finis.
Donc les fonctions propres de l’opérateur T permettent d’isoler les composantes connexes Ωi pour
i ∈ {1, .., k} d’après [62].
(2.4)