Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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44 C<strong>la</strong>ssification <strong>et</strong> éléments spectraux <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité gaussienne<br />
Propriété <strong>de</strong>s fonctions propres <strong>de</strong> l’opérateur <strong>de</strong> Lap<strong>la</strong>ce<br />
Dans un soucis <strong>de</strong> c<strong>la</strong>rté, nous fixons, pour <strong>la</strong> suite, le nombre <strong>de</strong> clusters <strong>à</strong> k. Considérons<br />
alors un ouvert Ω <strong>de</strong> Rp constitué <strong>de</strong> k ouverts connexes distincts, notés Ω1, ..Ωk. La frontière<br />
∂Ω = k i=1 ∂Ωi avec k i=1 ∂Ωi = ∅ est supposée suffisamment régulière telle que l’opérateur trace<br />
soit bien posé sur ∂Ω <strong>et</strong> <strong>la</strong> décomposition <strong>spectrale</strong> <strong>de</strong> l’opérateur Lap<strong>la</strong>cien soit bien définie. Dans<br />
ce cas, <strong>la</strong> frontière ∂Ω sera supposée au moins C1 sur ∂Ωi, pour i = {1, .., k}. On considère le<br />
problème (PL Ω ) :<br />
(P L ⎧<br />
⎪⎨ Trouver λn <strong>et</strong> vn ∈ H<br />
Ω)<br />
⎪⎩<br />
1 0 (Ω),<br />
−∆vn = λnvn sur Ω,<br />
vn = 0 sur ∂Ω,<br />
<strong>et</strong> les problèmes sur les Ωi respectivement pour i = {1, .., k} :<br />
(P L Ωi )<br />
⎧<br />
⎪⎨<br />
−∆vn,i = λn,ivn,i sur Ωi,<br />
⎪⎩<br />
vn,i = 0 sur ∂Ωi.<br />
Trouver λn,i <strong>et</strong> vn,i ∈ H 1 0 (Ωi),<br />
D’après [60], déterminer les valeurs propres (λn)n>0 <strong>et</strong> les fonctions propres associées (vn)n>0 du<br />
problème (PL Ω ) suivant est équivalent <strong>à</strong> définir une fonction dépendant <strong>de</strong>s valeurs propres (λn,i)n>0<br />
<strong>de</strong>s fonctions propres du Lap<strong>la</strong>cien avec conditions <strong>de</strong> Dirichl<strong>et</strong> respectivement sur Ωi, pour i =<br />
{1, .., k}. Ce résultat est énoncé dans <strong>la</strong> proposition suivante :<br />
Proposition 2.14. Si u ∈ H1 0 (Ω) alors −∆u = λu sur Ω si <strong>et</strong> seulement si :<br />
ui = u |Ωi ∈ H1 0 (Ω) vérifie − ∆ui = λui sur Ωi, pour i = {1, .., k}.<br />
Soit encore {λn, n ∈ N} = k<br />
i=1 {λn,i, n ∈ N}.<br />
Démonstration. Si on considère vn,i solution sur Ωi <strong>de</strong> (PL ), une fonction propre <strong>de</strong> l’opérateur<br />
Ωi<br />
Lap<strong>la</strong>cien ∆ associée <strong>à</strong> <strong>la</strong> valeur propre λn,i <strong>et</strong> si le support <strong>de</strong> vn,i ∈ Ωi est étendu du l’ensemble<br />
Ω en imposant :<br />
∀i ∈ {1, .., k}, vn,i =<br />
<br />
vn,i sur Ωi,<br />
0 sur Ω\Ωi<br />
alors vn,i est aussi fonction propre du Lap<strong>la</strong>cien −∆ dans H1 0 (Ω) associée <strong>à</strong> <strong>la</strong> même valeur propre<br />
λn,i.<br />
Réciproquement, tant que les Ωi sont disjoints pour i = {1, .., k}, l’extension par 0 <strong>à</strong> l’ensemble<br />
(Ω) d’après [26]. Par conséquent, <strong>la</strong><br />
entier Ω d’une fonction <strong>de</strong> H1 0 (Ωi) est une fonction <strong>de</strong> H1 0<br />
réunion <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux ensembles <strong>de</strong> fonctions propres {(vn,i)n>0, i ∈ {1, .., k}} est une base Hilbertienne<br />
<strong>de</strong> H1 0 (Ω).<br />
C<strong>et</strong>te propriété est illustrée dans <strong>la</strong> figure 2.4 dans le cadre <strong>de</strong> donuts via une discrétisation par<br />
éléments finis.<br />
Donc les fonctions propres <strong>de</strong> l’opérateur T perm<strong>et</strong>tent d’isoler les composantes connexes Ωi pour<br />
i ∈ {1, .., k} d’après [62].<br />
(2.4)