Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.3.2 Classification via l’opérateur de Laplace 43
2.3.2 Classification via l’opérateur de Laplace
Dans la suite, après avoir introduit l’opérateur de Laplace, ses éléments spectraux seront étudiés.
Opérateur de Laplace
D’après [60], si f ∈ L2 (Ω), alors une solution du Laplacien sur Ω avec pour second membre f
(Ω) tel que :
−∆u = f sur Ω,
(PΩ)
u = 0 sur ∂Ω,
est, par définition, un élément u ∈ H 1 0
Proposition 2.10. Si f ∈ L 2 (Ω), les assertions suivantes sont équivalentes :
1. u ∈ H1 0 (Ω) et −∆u = f,
2. u ∈ H 1 0 (Ω) et (u|v) H 1 0 (Ω) = (f|v) L 2 (Ω) pour tout v ∈ H 1 0 (Ω).
L’opérateur solution du problème (P) est introduit et possède les propriétés suivantes [60] :
Proposition 2.11. L’opérateur défini par :
T : H 1 0 (Ω) → H 1 0 (Ω)
est injectif, compact, autoadjoint positif sur H 1 0 (Ω).
v ↦−→ u tel que − ∆u = v
On peut donc appliquer à l’opérateur T les résultats sur le spectre des opérateurs autoadjoints
compacts (Théorème 2.7). Si λ ∈ C et u ∈ H1 0 (Ω) est non nul, on a :
−∆u = λu ⇐⇒ T (λu) = u ⇐⇒ (λ = 0 et T u = 1
λ u).
Donc λ est une valeur propre du Laplacien avec condition Dirichlet si et seulement si λ = 0 et 1/λ
est une valeur propre de T dans le cas où les fonctions propres sont les mêmes.
Les fonctions propres associées à l’opérateur de Laplace ont les propriétés suivantes [60] :
Théorème 2.12. Il existe une base Hilbertienne (vn)n≥1 de L2 (Ω) et il existe une suite (λn)n≥0 de
réels avec λn > 0 et λn → ∞ tels que : 0 < λ1 ≤ λ2 ≤ .. ≤ λn ≤ ...
⎧
⎪⎨ vn ∈ H
⎪⎩
1 0 (Ω),
−∆vn = λnvn sur Ω,
vn = 0 sur ∂Ω.
On dit que les (λn)n sont les valeurs propres de l’opérateur −∆ (avec conditions de Dirichlet) et
que les (vn)n sont les fonctions propres associées.
Enfin, on donne un dernier résultat de régularité, utile dans la suite [28].
Proposition 2.13. Soit Ω un ouvert de Rp et f ∈ L2 loc (Ω) et u une solution de l’équation :
∆u = f sur Ω
alors ses dérivées secondes ∂ 2 xαxβ u sont des fonctions appartenant à L2 loc (Ω).