Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

42 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne
Théorème 2.5. (Prolongement de fonction) Pour f ∈ H 1 0
f =
f sur Ω,
0 sur R p \Ω.
(Ω), posons :
Alors f ∈ H1 (Rp ) et l’application qui a f associe f est un isomorphisme entre H1 0 (Ω), .H1
(Ω)
et H1 (Rp
), .H1 (Rp ) .
Opérateur et problème d’évolution dans un espace de Hilbert
Pour définir des théorèmes sur les opérateurs solutions d’un problème d’évolution dans un espace
de Hilbert [22], nous avons d’abord besoin de définir des propriétés sur les opérateurs autoadjoints
compacts [60] :
Définition 2.6. (Opérateur autoadjoint) Soit H un espace de Hilbert et que T ∈ L(H). Identifiant
H ′ comme le dual de H, on peut considérer que T ∗ ∈ L(H). On dit qu’un opérateur T ∈ L(H) est
autoadjoint si T ∗ = T c’est-à-dire
(T u, v) = (u, T v) ∀u, v ∈ H.
Ces propriétés sur les opérateurs engendrent des propriétés sur les fonctions propres des opérateur
compact autoadjoint [60] :
Théorème 2.7. Soit T un opérateur autoadjoint compact sur un espace de Hilbert H séparable.
Alors H admet une base hilbertienne formée de vecteurs propres de T .
Pour les problèmes d’évolution dans un espace de Hilbert, les opérateurs solutions doivent avoir
les propriétés suivantes [22] :
Définition 2.8. (Opérateur monotone maximal) Soit un espace de Hilbert H séparable et T :
D(T ) ⊂ H → H un opérateur linéaire de domaine D(T ). On dit que T est monotone si
et que T est maximal si :
∀v ∈ D(T ), (T v, v)H ≥ 0,
∀f ∈ H, ∃v ∈ D(T ), v + T v = f.
Avec ces propriétés, le Théorème de Hille-Yosida [22] assure l’existence et l’unicité d’un problème
d’évolution sur un espace de Hilbert :
Théorème 2.9. (Théorème Hille-Yosida) Soit T un opérateur monotone maximal dans un espace
de Hilbert H où le domaine de T est tel que D(T ) ⊂ H. Alors, pour tout f ∈ C ∞ (H) et pour tout
u0 appartenant au domaine de T , u0 ∈ D(T ), il existe une fonction
u ∈ H 2 ([0, +∞[; H),
unique telle que
∂tu − T u = 0 sur R + × Ω,
De plus, on a :
u(t = 0) = f, sur Ω.
|u(t)| ≤ |f| et |∂tu| = |T u(t)| ≤ |T f|, ∀t ≥ 0.
(2.2)
(2.3)