Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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40 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne (a) Produit AV1,1 (b) Produit AV1,2 (c) Norme α en fonction de t (d) Corrélation ω en fonction de t (e) Norme β en fonction de t (f) Corrélation τ en fonction de t Figure 2.3 – Exemple des donuts : Corrélation et différence en norme entre Vi et respectivement les vecteurs propres de (A + IN)M et de A, pour i ∈ {1, 2}
2.3 Propriétés de classification dans le continu 41 Le résultat principal de cette analyse est de conforter la discrimination des composantes des vecteurs propres par classe de points, en fonction du temps de diffusion de la chaleur t, de la séparation moyenne h entre les points voisins au sein d’une même classe dans un ouvert Ωi, et d’un paramètre γ minorant la distance de séparation entre Ωi et Ωj, 1 ≤ i = j ≤ k. Le temps t de propagation de la chaleur, qui peut être relié directement au paramètre σ dans la matrice d’affinité, joue en effet un rôle essentiel dans la séparation de l’information par composante connexe Ωi, 1 ≤ i ≤ k. Sachant que pour des instants t très petits, la propagation de la chaleur reste essentiellement localisée autour de chaque point possédant une unité de chaleur à l’instant t = 0, et que quand t devient très grand, la température a tendance à s’uniformiser globalement, il est légitime de penser qu’il existe un intervalle de temps consistant avec une situation de clustering donnée. 2.3 Propriétés de classification dans le continu Dans la suite, quelques résultats d’Analyse Fonctionnelle seront nécessaires pour définir une propriété de clustering sur les fonctions propres de l’opérateur de Laplace. Ensuite, cette propriété permettra d’établir un résultat de clustering pour l’opérateur de la chaleur avec conditions de Dirichlet. Enfin, via un lien sur les noyaux de Green respectifs, une propriété de classification (ou propriété de clustering) pour l’opérateur de la chaleur en espace libre pourra être énoncée. 2.3.1 Quelques résultats d’Analyse Fonctionnelle L’interprétation via l’équation de la chaleur requiert de se placer dans un contexte d’équations aux dérivées partielles. Dans la suite, nous introduirons donc quelques résultats d’analyse fonctionnelle [22] et d’équations aux dérivées partielles [60] concernant les opérateurs de Laplace et les équations de la chaleur avec conditions de Dirichlet. Espaces de Sobolev, injections et prolongement Soit Ω un ouvert connexe de R p . Dans la suite, on notera par H m (Ω) l’espace de Sobolev défini par : H m (Ω) = {f ∈ L 2 (Ω)|∀α ∈ N p avec |α| ≤ m, D α f ∈ L 2 (Ω)}. Dans H m (Ω), le produit scalaire est défini par : (u|v)H m = (D |α|≤m α u|D α v) L2 (Ω). On définit les espaces de Sobolev dont les éléments satisfont aussi les conditions de Dirichlet : H m 0 (Ω) = {f ∈ L 2 (Ω)| f|∂Ω = 0 et ∀α ∈ N p avec |α| ≤ m, D α f ∈ L 2 (Ω)}. Suivent les injections dans les espaces de Sobolev [26] : Théorème 2.4 (Injections de Sobolev). L’inclusion suivante pour un ouvert Ω de R p est valable : si s > p/2, H s (Ω) ↩→ C 0 ( ¯ Ω). Enfin, pour pouvoir faire le lien entre l’espace Ω et R p dans la suite, on a recours au théorème suivant [60] :
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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