Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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38 Classification et éléments spectraux de la matrice affinité gaussienne Algorithm 2 Classification spectrale non normalisée Input : Ensemble des données S, Nombre de clusters k ′ 1. Construction de la matrice affinité A ∈ RN×N définie par : exp(− xi − xj 2 /2σ2 ) si i = j, Aij = 0 sinon 2. Construction de la matrice X = [X1X2..Xk ′] ∈ RN×k′ formée à partir de k ′ vecteurs propres xi, i = {1, .., k ′ } de A. 3. Construction de la matrice Y formée en normalisant les lignes de X : Yij = Xij 1/2 j X2 ij 4. Traiter chaque ligne de Y comme un point de R k et les classer en k clusters via la méthode k-means 5. Assigner le point original xi au cluster Cj si et seulement si la ligne i de la matrice Y est assignée au cluster Cj. une représentation des fonctions propres de SH. Cependant, sur un domaine borné O, KH est proche de KD, noyau de l’équation de la chaleur sur un domaine borné Ω avec conditions de Dirichlet, pour Ω contenant strictement O. Maintenant, l’opérateur SD (convolution par KD) admet des fonctions propres (vn,i) dans H 1 0 (Ω) (proposition 2.17). Ces vn,i ont la propriété d’avoir leurs supports inclus sur une seule des composantes connexes. Ensuite, on montre que l’opérateur SH admet les vn,i comme fonctions propres plus un résidu, noté η (proposition 2.23). Enfin, en utilisant l’approximation par les éléments finis et une condensation de masse, on montre (proposition 2.36) que les vecteurs propres de A sont une représentation de ces fonctions propres plus un résidu (noté ψ) fonction du paramètre t. Pour illustrer les différentes étapes du résultat principal, on considère n = 1400 points représentant deux couronnes figure 2.2 (a). Le maillage de ces 2 composantes connexes est représenté sur la figure 2.2 (b). Les fonctions propres discrétisées de l’opérateur de la chaleur SD à supports sur une seule couronne sont notées V1 et V2 et tracées sur les figures 2.2(c)-(d). Les figures (e)-(f) représentent le produit de la matrice d’affinité A et de la matrice de masse M résultant du maillage par les fonctions propres discrétisées V1 et V2. Ce même produit sans la matrice de masse est représenté sur les figures 2.3 (a)-(b). Avec ou sans la matrice de masse, la propriété de support sur une seule composante connexe est préservée pour cet exemple. Enfin l’influence du paramètre de la chaleur t (variable temporelle dans l’équation de la chaleur) sur la différence entre les fonctions propres discrétisées V1 et V2 et les vecteurs propres de la matrice affinité AM et A est étudiée par le biais de la corrélation (figure 2.3 (d)-(f)) et de la différence en norme euclidienne (figure 2.3 (c)-(e)). Les fonctions propres discrétisées sont respectivement comparées aux vecteurs propres de AM sur les cas (c)-(d) et aux vecteurs propres de A sur les cas (e)-(f). Ces dernières fonctions ont un comportement semblable à celui du résidu ψ(h, t) de la proposition 2.36. On observe donc que la propriété des vecteurs propres à support sur une seule composante connexe est préservée au mieux sur un intervalle particulier de valeurs de t. (2.1)
2.2 Présentation du résultat principal 39 (a) Ensemble des données (b) Maillage des donuts (c) Fonction propre à valeur sur la première composante connexe (e) Produit AMV1,1 (d) Fonction propre à valeur sur la deuxième composante connexe (f) Produit AMV1,2 Figure 2.2 – Exemples des donuts : Données, maillage et fonctions propres
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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