Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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38 C<strong>la</strong>ssification <strong>et</strong> éléments spectraux <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité gaussienne<br />
Algorithm 2 C<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> non normalisée<br />
Input : Ensemble <strong>de</strong>s données S, Nombre <strong>de</strong> clusters k ′<br />
1. Construction <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité A ∈ RN×N définie par :<br />
<br />
exp(− xi − xj 2 /2σ2 ) si i = j,<br />
Aij =<br />
0 sinon<br />
2. Construction <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice X = [X1X2..Xk ′] ∈ RN×k′ formée <strong>à</strong> partir <strong>de</strong> k ′ vecteurs propres<br />
xi, i = {1, .., k ′ } <strong>de</strong> A.<br />
3. Construction <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice Y formée en normalisant les lignes <strong>de</strong> X :<br />
Yij =<br />
Xij<br />
1/2 <br />
j X2 ij<br />
4. Traiter chaque ligne <strong>de</strong> Y comme un point <strong>de</strong> R k <strong>et</strong> les c<strong>la</strong>sser en k clusters via <strong>la</strong> métho<strong>de</strong><br />
k-means<br />
5. Assigner le point original xi au cluster Cj si <strong>et</strong> seulement si <strong>la</strong> ligne i <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice Y est<br />
assignée au cluster Cj.<br />
une représentation <strong>de</strong>s fonctions propres <strong>de</strong> SH. Cependant, sur un domaine borné O, KH est<br />
proche <strong>de</strong> KD, noyau <strong>de</strong> l’équation <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur sur un domaine borné Ω avec conditions <strong>de</strong><br />
Dirichl<strong>et</strong>, pour Ω contenant strictement O. Maintenant, l’opérateur SD (convolution par KD) adm<strong>et</strong><br />
<strong>de</strong>s fonctions propres (vn,i) dans H 1 0 (Ω) (proposition 2.17). Ces vn,i ont <strong>la</strong> propriété d’avoir leurs<br />
supports inclus sur une seule <strong>de</strong>s composantes connexes. Ensuite, on montre que l’opérateur SH<br />
adm<strong>et</strong> les vn,i comme fonctions propres plus un résidu, noté η (proposition 2.23). Enfin, en utilisant<br />
l’approximation par les éléments finis <strong>et</strong> une con<strong>de</strong>nsation <strong>de</strong> masse, on montre (proposition 2.36)<br />
que les vecteurs propres <strong>de</strong> A sont une représentation <strong>de</strong> ces fonctions propres plus un résidu (noté<br />
ψ) fonction du paramètre t.<br />
Pour illustrer les différentes étapes du résultat principal, on considère n = 1400 points représentant<br />
<strong>de</strong>ux couronnes figure 2.2 (a). Le mail<strong>la</strong>ge <strong>de</strong> ces 2 composantes connexes est représenté<br />
sur <strong>la</strong> figure 2.2 (b). Les fonctions propres discrétisées <strong>de</strong> l’opérateur <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur SD <strong>à</strong> supports<br />
sur une seule couronne sont notées V1 <strong>et</strong> V2 <strong>et</strong> tracées sur les figures 2.2(c)-(d). Les figures (e)-(f)<br />
représentent le produit <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice d’affinité A <strong>et</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice <strong>de</strong> masse M résultant du mail<strong>la</strong>ge<br />
par les fonctions propres discrétisées V1 <strong>et</strong> V2. Ce même produit sans <strong>la</strong> matrice <strong>de</strong> masse est représenté<br />
sur les figures 2.3 (a)-(b). Avec ou sans <strong>la</strong> matrice <strong>de</strong> masse, <strong>la</strong> propriété <strong>de</strong> support sur<br />
une seule composante connexe est préservée pour c<strong>et</strong> exemple. Enfin l’influence du paramètre <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> chaleur t (variable temporelle dans l’équation <strong>de</strong> <strong>la</strong> chaleur) sur <strong>la</strong> différence entre les fonctions<br />
propres discrétisées V1 <strong>et</strong> V2 <strong>et</strong> les vecteurs propres <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité AM <strong>et</strong> A est étudiée<br />
par le biais <strong>de</strong> <strong>la</strong> corré<strong>la</strong>tion (figure 2.3 (d)-(f)) <strong>et</strong> <strong>de</strong> <strong>la</strong> différence en norme euclidienne (figure 2.3<br />
(c)-(e)). Les fonctions propres discrétisées sont respectivement comparées aux vecteurs propres <strong>de</strong><br />
AM sur les cas (c)-(d) <strong>et</strong> aux vecteurs propres <strong>de</strong> A sur les cas (e)-(f). Ces <strong>de</strong>rnières fonctions ont<br />
un comportement semb<strong>la</strong>ble <strong>à</strong> celui du résidu ψ(h, t) <strong>de</strong> <strong>la</strong> proposition 2.36. On observe donc que <strong>la</strong><br />
propriété <strong>de</strong>s vecteurs propres <strong>à</strong> support sur une seule composante connexe est préservée au mieux<br />
sur un intervalle particulier <strong>de</strong> valeurs <strong>de</strong> t.<br />
(2.1)