Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.2 Présentation du résultat principal 37
pour tout j ∈ {1, .., k}, Cj ⊂ Pj. Or il existe j ∈ {1, .., k} tel que Cj = Pj. Donc k
j=1 Cj =
k
j=1 Pj = P. Ce qui contredit l’hypothèse que C est une partition. La réciproque est triviale.
Supposons maintenant que Ω n’induise pas un k-clustering compatible, c’est-à-dire qu’il existe deux
points xi ∈ Pi et xj ∈ Pj avec i = j tels que xi ∈ C1 et xj ∈ C1. S’ils sont assignés au même cluster
C1 alors, d’après l’algorithme 2, Yi1 = 0 et Yj1 = 0. En d’autres termes, (X1)i = 0 et (X1)j = 0.
Alors, d’après les hypothèses sur les vecteurs propres, xi ∈ P1 et xj ∈ P1 ce qui est faux. Donc la
partition C = {C1, .., Ck} est identique au k-clustering induit par Ω.
La proposition 2.2 énonce un résultat de clustering immédiat en ce sens qu’il est trivial à réaliser,
sous réserve qu’on puisse trouver exactement k vecteurs dont les coordonnées sont non nulles sur
une seule des k partitions de points Pj, j = 1, . . . , k. Il est clair que dans la pratique ce ne sera
pas le cas, mais nous allons analyser dans ce chapitre sous quelles hypothèses il est possible de se
rapprocher de cette situation idéale. Avant toute chose, il est utile de rappeler que l’existence de tels
vecteurs rejoint directement l’hypothèse de structure diagonale par bloc de la matrice A, telle que
l’exploitent Ng, Jordan et Weiss [84]. En effet, sous l’hypothèse d’une telle structure diagonale par
bloc, les vecteurs propres de A peuvent se regrouper en k sous ensembles de vecteurs ayant chacun
des composantes non nulles en correspondance avec l’un des k blocs diagonaux de la matrice. La
normalisation de la matrice ne sert alors qu’à éviter d’avoir à faire une décomposition spectrale
complète de la matrice A et à retrouver (étape qui peut être coûteuse) dans l’ensemble des vecteurs
propres la répartition par bloc des composantes non nulles de ces vecteurs (après permutation
éventuelle des lignes). En effet, la normalisation garantit simplement que la valeur propre dominante
égale à 1 est de multiplicité k, et que les vecteurs propres associés sont une combinaison linéaire
de k vecteurs ayant des coordonnées non nulles et constantes relativement à chacun des k blocs
diagonaux respectivement.
L’une des questions à laquelle nous nous intéressons dans ce chapitre est d’analyser dans quelle
mesure la matrice de similarité A est proche de cette situation bloc-diagonale idéale. Ng, Jordan et
Weiss [84] abordent cette question en analysant la structure des vecteurs propres de A par le biais
de la théorie de la perturbation matricielle. Dans le même esprit, nous analyserons la structure de
ces vecteurs propres à l’aide d’un problème continu mettant en jeu l’équation de la chaleur.
Dans le cas où l’étape de normalisation est supprimée, la méthode de spectral clustering se
résume aux étapes de l’algorithme 2, dans lequel intervient la décomposition spectrale de la matrice
d’affinité Gaussienne, explicitée en (2.1). Comme les éléments spectraux de la matrice d’affinité ne
fournissent pas explicitement de critère géométrique relativement à un ensemble discret de données,
nous nous proposons de revenir à une formulation continue où les clusters sont inclus dans un
ouvert Ω fournissant un k-clustering compatible. En interprétant la matrice affinité gaussienne
comme la discrétisation du noyau de Green de l’équation de la chaleur et en utilisant les éléments
finis, on montre que, pour un ensemble fini de points, les vecteurs propres de la matrice affinité
gaussienne sont la représentation asymptotique de fonctions dont le support est inclus dans une
seule composante connexe. Ce retour à une formulation continue est effectué à l’aide des éléments
finis. Ainsi, les vecteurs propres de la matrice affinité A sont interprétés comme la discrétisation
de fonctions propres d’un opérateur. En effet, avec les éléments finis dont les noeuds correspondent
aux données d’origine, une représentation d’une fonction est donnée par sa valeur nodale. Donc on
peut interpréter la matrice A et ses vecteurs propres comme les représentations respectives d’un
opérateur L 2 et d’une fonction L 2 .
L’opérateur dont la représentation en éléments finis concorde avec la définition de A est le noyau
de l’équation de la chaleur, noté KH, sur R p . Comme le spectre de l’opérateur SH (convolution par
KH) est essentiel, les vecteurs propres de A ne peuvent pas être directement interprétés comme