Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

2.2 Présentation du résultat principal 35
2.2 Présentation du résultat principal
On se propose de relier la classification (ou clustering) d’un ensemble fini de points à une partition
d’ouverts de l’espace R p .
Définition 2.1 (Clustering).
1. On dit qu’un ouvert Ω, réunion finie de composantes connexes Ωi, i = {1, .., k} distinctes,
induit un k-clustering sur un ensemble fini de points P, si les intersections de P avec les Ωi,
constituent une partition C = {C1, .., Ck} de P, c’est-à-dire que Cj = P ∩ Ωj = ∅, i = 1, .., k,
Ci ∩ Cj = ∅ pour i = j et P = k
i=1 Ci.
2. Soit C = {C1, .., Ck} une partition donnée de l’ensemble fini de points de P. On dit qu’un ouvert
Ω, réunion finie de composantes connexes Ωi, i = {1, .., k} distinctes, induit un k-clustering
sur P compatible avec la partition donnée de P si l’ensemble des Cj, j = {1, .., k} est identique
à l’ensemble des P ∩ Ωi, i = 1, .., k.
Si on considère l’exemple illustré dans la figure 2.1, dans lequel les quatre couronnes constituent
la partition "naturelle" de l’ensemble des points de R 2 donné, le cas (a) constitue un clustering
compatible, les autres cas n’étant pas n’étant pas compatibles. Ce cas de clustering compatible sera
aussi, dans la suite, appelé "clustering idéal".
Remarque 2.2. En d’autres termes, le clustering partitionne suivant les composantes connexes.
Les exemples (b)-(d) peuvent être définis comme suit. Soit C = {C1, .., Ck ′} un partitionnement de
l’ensemble P.
– le sous clustering (cas (b) de la figure 2.1) définit le cas où :
k ′ < k et ∀i = {1, .., k}, ∃j ∈ {1, .., k ′ }, Pi ⊂ Cj.
– le sur-clustering (cas (c)) définit le cas où :
k ′ > k et ∀j = {1, .., k ′ }, ∃i ∈ {1, .., k}, Cj ⊂ Pi;
– un mauvais clustering (cas (d)) représente des clusters dont les points appartiennent à plusieurs
composantes connexes sans recouvrir de composante connexe entièrement.
Considérons donc maintenant un ensemble fini de points P = k
i=1 Pi et une partition en k
classes disjointes 2 à 2 induisant un clustering compatible avec la partition donnée de P.
Proposition 2.3. Supposons qu’il existe k vecteurs propres notés X1, .., Xk de la matrice A ∈
MN,N(R) définie par (2.1) tels que : pour tout l ∈ {1, .., k} et pour tout i ∈ {1, .., N}
= 0 si xi /∈ Pl,
(Xl)i
= 0 si xi ∈ Pl.
Alors la partition C = {C1, .., Ck} issue de l’algorithme 2 du spectral clustering définit un clustering
idéal.
Démonstration. Supposons que les vecteurs propres X1, ..Xk de la matrice affinité A vérifient les
hypothèses du théorème. Supposons que la partition C ne définisse pas un clustering idéal c’est-à-
dire :
∃j ∈ {1, .., k}, ∀i ∈ {1, .., k}, Cj = Pi ⇐⇒ ∃xi ∈ Pi, xj ∈ Pj avec Pi = Pj tels que
xi ∈ Cm,
xj ∈ Cm.
Montrons d’abord, cette équivalence. Supposons que Ω n’induise pas un k-clustering compatible.
Supposons qu’il n’existe pas deux points xi ∈ Pi, xj ∈ Pj appartenant au même cluster Cm. Alors