Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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2.2 Présentation du résultat principal 35<br />
2.2 Présentation du résultat principal<br />
On se propose <strong>de</strong> relier <strong>la</strong> c<strong>la</strong>ssification (ou clustering) d’un ensemble fini <strong>de</strong> points <strong>à</strong> une partition<br />
d’ouverts <strong>de</strong> l’espace R p .<br />
Définition 2.1 (Clustering).<br />
1. On dit qu’un ouvert Ω, réunion finie <strong>de</strong> composantes connexes Ωi, i = {1, .., k} distinctes,<br />
induit un k-clustering sur un ensemble fini <strong>de</strong> points P, si les intersections <strong>de</strong> P avec les Ωi,<br />
constituent une partition C = {C1, .., Ck} <strong>de</strong> P, c’est-<strong>à</strong>-dire que Cj = P ∩ Ωj = ∅, i = 1, .., k,<br />
Ci ∩ Cj = ∅ pour i = j <strong>et</strong> P = k<br />
i=1 Ci.<br />
2. Soit C = {C1, .., Ck} une partition donnée <strong>de</strong> l’ensemble fini <strong>de</strong> points <strong>de</strong> P. On dit qu’un ouvert<br />
Ω, réunion finie <strong>de</strong> composantes connexes Ωi, i = {1, .., k} distinctes, induit un k-clustering<br />
sur P compatible avec <strong>la</strong> partition donnée <strong>de</strong> P si l’ensemble <strong>de</strong>s Cj, j = {1, .., k} est i<strong>de</strong>ntique<br />
<strong>à</strong> l’ensemble <strong>de</strong>s P ∩ Ωi, i = 1, .., k.<br />
Si on considère l’exemple illustré dans <strong>la</strong> figure 2.1, dans lequel les quatre couronnes constituent<br />
<strong>la</strong> partition "naturelle" <strong>de</strong> l’ensemble <strong>de</strong>s points <strong>de</strong> R 2 donné, le cas (a) constitue un clustering<br />
compatible, les autres cas n’étant pas n’étant pas compatibles. Ce cas <strong>de</strong> clustering compatible sera<br />
aussi, dans <strong>la</strong> suite, appelé "clustering idéal".<br />
Remarque 2.2. En d’autres termes, le clustering partitionne suivant les composantes connexes.<br />
Les exemples (b)-(d) peuvent être définis comme suit. Soit C = {C1, .., Ck ′} un partitionnement <strong>de</strong><br />
l’ensemble P.<br />
– le sous clustering (cas (b) <strong>de</strong> <strong>la</strong> figure 2.1) définit le cas où :<br />
k ′ < k <strong>et</strong> ∀i = {1, .., k}, ∃j ∈ {1, .., k ′ }, Pi ⊂ Cj.<br />
– le sur-clustering (cas (c)) définit le cas où :<br />
k ′ > k <strong>et</strong> ∀j = {1, .., k ′ }, ∃i ∈ {1, .., k}, Cj ⊂ Pi;<br />
– un mauvais clustering (cas (d)) représente <strong>de</strong>s clusters dont les points appartiennent <strong>à</strong> plusieurs<br />
composantes connexes sans recouvrir <strong>de</strong> composante connexe entièrement.<br />
Considérons donc maintenant un ensemble fini <strong>de</strong> points P = k<br />
i=1 Pi <strong>et</strong> une partition en k<br />
c<strong>la</strong>sses disjointes 2 <strong>à</strong> 2 induisant un clustering compatible avec <strong>la</strong> partition donnée <strong>de</strong> P.<br />
Proposition 2.3. Supposons qu’il existe k vecteurs propres notés X1, .., Xk <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice A ∈<br />
MN,N(R) définie par (2.1) tels que : pour tout l ∈ {1, .., k} <strong>et</strong> pour tout i ∈ {1, .., N}<br />
<br />
= 0 si xi /∈ Pl,<br />
(Xl)i<br />
= 0 si xi ∈ Pl.<br />
Alors <strong>la</strong> partition C = {C1, .., Ck} issue <strong>de</strong> l’algorithme 2 du spectral clustering définit un clustering<br />
idéal.<br />
Démonstration. Supposons que les vecteurs propres X1, ..Xk <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité A vérifient les<br />
hypothèses du théorème. Supposons que <strong>la</strong> partition C ne définisse pas un clustering idéal c’est-<strong>à</strong>-<br />
dire :<br />
∃j ∈ {1, .., k}, ∀i ∈ {1, .., k}, Cj = Pi ⇐⇒ ∃xi ∈ Pi, xj ∈ Pj avec Pi = Pj tels que<br />
<br />
xi ∈ Cm,<br />
xj ∈ Cm.<br />
Montrons d’abord, c<strong>et</strong>te équivalence. Supposons que Ω n’induise pas un k-clustering compatible.<br />
Supposons qu’il n’existe pas <strong>de</strong>ux points xi ∈ Pi, xj ∈ Pj appartenant au même cluster Cm. Alors