Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

Chapitre 2
Classification et éléments spectraux de la
matrice affinité gaussienne
Dans ce chapitre, nous nous intéressons au fonctionnement de la méthode de spectral clustering
pour un ensemble fini de points afin de pouvoir juger la qualité du clustering et le choix du
paramètre σ. Pour cela, nous proposons d’interpréter l’algorithme de Ng, Jordan et Weiss [84] sans
l’étape de normalisation et plus précisément l’espace de projection spectral via les équations aux
dérivées partielles et la théorie des éléments finis. Cette interprétation apportera une explication
sur la construction des clusters c’est-à-dire un sens à l’extraction des plus grands vecteurs propres
d’une matrice affinité gaussienne.
2.1 Diverses interprétations
De nombreuses interprétations basées sur des approches probabiliste, d’optimisation ou bien
de théorie des graphes et d’opérateur dans les espaces fonctionnels du spectral clustering ont été
recensées [105, 32]. Rappelons que cette méthode repose seulement sur l’ensemble des données et la
similarité, notée s, entre les couples de points, sans a priori sur la forme des clusters.
Partitionnement de graphe
A partir de la seule mesure de similarité entre les points, une représentation possible de ces
points consiste à les identifier par un graphe de similarité, noté G = (V, E). Chaque sommet vi ∈ V
du graphe G est un point xi. Deux sommets sont connectés si la similarité sij entre les points xi et xj
est positive ou supérieure à un seuil prédéfini et l’arête du graphe est pondérée par la valeur de sij. A
partir de cette représentation, plusieurs fonctions objectifs basées sur la minimisation de la similarité
totale entre deux clusters peuvent être minimisées : le ratio de coupe [51], la coupe normalisée [91] ou
bien la coupe min-max [33] incluant aussi la maximisation de la similarité totale intra-cluster. Cette
interprétation est en accord avec le principe même de la classification non supervisée. Cependant,
l’utilisation des premiers vecteurs propres d’un Laplacien de graphe comme espace de projection
dans lequel les clusters sont constitués est, en général, justifiée avec des arguments heuristiques ou
comme une relaxe du problème discret de clustering.
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