Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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1.4.2 Traitement d’images 29<br />
une boîte 3D rectangu<strong>la</strong>ire<br />
Si l’image donnée peut être considérée comme suffisamment isotropique c’est-<strong>à</strong>-dire si les pas<br />
entre chaque pixel <strong>et</strong> chaque niveau <strong>de</strong> luminance varie avec <strong>la</strong> même amplitu<strong>de</strong>, on peut inclure les<br />
données <strong>de</strong> l’image dans une boîte 3D rectangu<strong>la</strong>ire <strong>et</strong> incorporer l’heuristique (1.3) pour σ dans <strong>la</strong><br />
matrice affinité donnée par (1.1).<br />
un produit d’une simi<strong>la</strong>rité spatiale <strong>et</strong> une simi<strong>la</strong>rité <strong>de</strong> luminescence<br />
La secon<strong>de</strong> possibilité est <strong>de</strong> considérer que l’image <strong>de</strong> départ est composée <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux ensembles<br />
distincts <strong>de</strong> variables, chacune avec une amplitu<strong>de</strong> <strong>et</strong> une <strong>de</strong>nsité spécifique. Alors <strong>la</strong> distribution<br />
spatiale <strong>de</strong>s pixels est isotropique mais <strong>la</strong> luminance est divisée en niveaux (256 maximum) <strong>et</strong><br />
<strong>la</strong> <strong>de</strong>nsité <strong>de</strong> luminance ne peut pas provenir du nombre <strong>de</strong> points. Dans les articles traitant <strong>de</strong><br />
segmentation d’images (par exemple [85, 91]), le produit d’une matrice affinité pour les données<br />
spatiales <strong>et</strong> d’une matrice d’affinité pour les valeurs <strong>de</strong> luminance est habituellement considéré.<br />
Chacune <strong>de</strong> ces <strong>de</strong>ux matrices a un paramètre σ spécifique. La matrice affinité est construite <strong>de</strong> <strong>la</strong><br />
manière suivante :<br />
<br />
Aij = exp<br />
− xi − xj2 |I(i) − I(j)|<br />
−<br />
(σG/2) 2 (σB/2)<br />
<br />
, (1.6)<br />
où I(i) est <strong>la</strong> valeur <strong>de</strong> luminance dans R <strong>et</strong> xi les coordonnées du pixel i dans R 2 . Le paramètre<br />
σG est donné par l’heuristique (1.2) appliquée uniquement sur les données spatiales, <strong>et</strong> σB est<br />
fixé <strong>à</strong> (Imax/ℓ) avec ℓ un nombre caractéristique <strong>de</strong>s niveaux <strong>de</strong> luminance. Ce <strong>de</strong>rnier paramètre<br />
correspond <strong>à</strong> l’heuristique 1.2 dans le cas <strong>de</strong> données 1D. Par exemple, dans l’exemple 1.12, ℓ est<br />
égal au nombre <strong>de</strong> seuils <strong>de</strong> l’image <strong>et</strong> σB définira le diamètre <strong>de</strong>s intervalles dans lesquels les valeurs<br />
<strong>de</strong> luminance <strong>de</strong>vraient être groupées.<br />
C<strong>et</strong>te définition reste dans l’esprit <strong>de</strong>s développements <strong>de</strong> <strong>la</strong> section 1.3 car σ défini par (1.2) reflète<br />
<strong>la</strong> distance référence <strong>de</strong> clustering dans le cas d’isotropie locale <strong>et</strong> divise suffisamment <strong>la</strong> distribution<br />
<strong>de</strong>s points. Avec 256 niveaux <strong>de</strong> luminance maximum, <strong>la</strong> distribution ne peut pas être considérée<br />
comme localement dispersée (beaucoup <strong>de</strong> valeurs sont égales entre elles) <strong>et</strong> on doit donner une<br />
distance caractéristique <strong>à</strong> partir <strong>de</strong> <strong>la</strong>quelle les valeurs <strong>de</strong> luminance peuvent être clusterisées. On<br />
note aussi que <strong>la</strong> solution <strong>de</strong> prendre σB = Imax/256 revient <strong>à</strong> re-échelonner les valeurs <strong>de</strong> luminance<br />
en clusters, équivalent <strong>à</strong> une décomposition très fine du grain <strong>de</strong> l’image, alors que <strong>la</strong> segmentation<br />
d’image doit requérir une analyse <strong>de</strong> tous les clusters constitués <strong>de</strong> pixels proches entre eux <strong>et</strong> avec<br />
le même niveau <strong>de</strong> luminance.<br />
Dans les résultats suivants, les approches (1.1) <strong>et</strong> (1.6) sont testées pour le calcul <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice<br />
affinité sur <strong>de</strong>ux images <strong>de</strong> 50 × 50 pixels soit N = 2500 points. Ces images présentent <strong>de</strong>s caractéristiques<br />
intéressantes : l’image <strong>de</strong> gauche représente plusieurs fleurs aux niveaux <strong>de</strong> gris n<strong>et</strong>tement<br />
différents tandis que l’image <strong>de</strong> droite représente une seule fleur, une rose, dont les niveaux <strong>de</strong> gris<br />
restent très proches <strong>et</strong> les nuances liées au relief <strong>de</strong>s pétales sont difficiles <strong>à</strong> cerner.<br />
Les figures 1.12 <strong>et</strong> 1.13 représentent sur <strong>la</strong> gauche l’image seuillée <strong>et</strong> sur <strong>la</strong> droite, les résultats<br />
du clustering obtenus avec :<br />
– le produit d’une simi<strong>la</strong>rité spatiale <strong>et</strong> une simi<strong>la</strong>rité <strong>de</strong> luminescence (1.6) pour les figures 1.12<br />
<strong>et</strong> 1.13 (a) <strong>et</strong> (c),<br />
– <strong>la</strong> boîte 3D affinité (1.1) pour les figures 1.12 <strong>et</strong> 1.13 (b) <strong>et</strong> (d).<br />
Dans les <strong>de</strong>ux cas, les résultats sont visuellement acceptables. L’approche 3D semble donner <strong>de</strong><br />
meilleurs résultats que celle avec le produit 2D par 1D mais ce<strong>la</strong> nécessite <strong>de</strong> plus amples étu<strong>de</strong>s<br />
pour s’assurer qu’une approche est meilleure en général <strong>et</strong> affiner les résultats. Cependant, le calcul<br />
du spectre <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité pleine limite c<strong>et</strong>te étu<strong>de</strong> <strong>et</strong> nous restreint <strong>à</strong> considérer <strong>de</strong> faibles<br />
dimensions pour l’image.