Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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28 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre Table 1.1 – Exemples géométriques (a) 6 blocs p-dimensionnel p 2 3 4 σ1 0.0349 0.0482 0.0558 σ2 0.0344 0.0377 0.0391 Ratio de normes de Frobenius < 0.15 [0.02 ;0.56] [0.02 ;0.58] [0.02 ;0.22] Perreur [0.06 ;1.24] [0.06 ;2.2] [0.04 ;0.78] (b) 3 portions sphères de dimension p p 2 3 4 σ1 0.0072 0.0268 0.0426 σ2 0.0069 0.0261 0.0414 Ratio de normes de Frobenius < 0.15 [0.04 ;0.18] [0.02 ;0.3] [0.02 ;0.04] Perreur [0.02 ;0.14] [0.04 ;0.16] [0.04 ;0.1] Table 1.2 – Exemples géométriques avec l’affinité (1.5) (a) 6 blocs p-dimensionnel pour p = 2, p = 3 et p = 4 p = 2, d 1 3 4 5 Ratio de normes de Frobenius < 0.15 [0.02 ;0.3] [0.02 ;0.6] [0.02 ;0.62] [0.02 ;0.6] Perreur [0.12 ;1.6] [0.08 ;1.06] [0.1 ;1.18] [0.12 ;1.1] p = 3, d 1 3 4 5 Ratio de normes de Frobenius < 0.15 [0.02 ;0.3] [0.02 ;0.64] [0.02 ;0.66] [0.02 ;0.66] Perreur [0.02 ;3] [0.04 ;1.4] [0.04 ;1.2] [0.04 ;1.2] p = 4, d 1 3 4 5 Ratio de normes de Frobenius < 0.15 [0.02 ;0.3] [0.02 ;0.26] [0.02 ;0.28] [0.02 ;0.28] Perreur [0.02 ;1.2] [0.02 ;0.62] [0.12 ;0.52] [0.14 ;0.48] (d) 3 portions d’hyperpshères pour p = 2, p = 3 et p = 4 p = 2, d 1 3 4 5 Ratio de normes de Frobenius< 0.15 [0.04 ;0.14] [0.6 ;0.2] [0.06 ;0.2] [0.06 ;0.18] Perreur [0.04 ;0.08] [0.06 ;0.18] [0.6 ;0.18] [0.06 ;0.18] p = 3, d 1 3 4 5 Ratio de normes de Frobenius < 0.15 [0.02 ;0.12] [0.04 ;0.5] [0.06 ;0.5] [0.08 ;0.5] Perreur [0.02 ;0.12] [0.04 ;0.16] [0.08 ;0.18] [0.08 ;0.18] p = 4, d 1 3 4 5 Ratio de normes de Frobenius < 0.15 [0.04 ;0.04] [0.04 ;0.08] [0.06 ;0.1] [0.1 ;0.16] Perreur [0.02 ;0.02] [0.06 ;0.16] [0.08 ;0.17] [0.1 ;0.2]
1.4.2 Traitement d’images 29 une boîte 3D rectangulaire Si l’image donnée peut être considérée comme suffisamment isotropique c’est-à-dire si les pas entre chaque pixel et chaque niveau de luminance varie avec la même amplitude, on peut inclure les données de l’image dans une boîte 3D rectangulaire et incorporer l’heuristique (1.3) pour σ dans la matrice affinité donnée par (1.1). un produit d’une similarité spatiale et une similarité de luminescence La seconde possibilité est de considérer que l’image de départ est composée de deux ensembles distincts de variables, chacune avec une amplitude et une densité spécifique. Alors la distribution spatiale des pixels est isotropique mais la luminance est divisée en niveaux (256 maximum) et la densité de luminance ne peut pas provenir du nombre de points. Dans les articles traitant de segmentation d’images (par exemple [85, 91]), le produit d’une matrice affinité pour les données spatiales et d’une matrice d’affinité pour les valeurs de luminance est habituellement considéré. Chacune de ces deux matrices a un paramètre σ spécifique. La matrice affinité est construite de la manière suivante : Aij = exp − xi − xj2 |I(i) − I(j)| − (σG/2) 2 (σB/2) , (1.6) où I(i) est la valeur de luminance dans R et xi les coordonnées du pixel i dans R 2 . Le paramètre σG est donné par l’heuristique (1.2) appliquée uniquement sur les données spatiales, et σB est fixé à (Imax/ℓ) avec ℓ un nombre caractéristique des niveaux de luminance. Ce dernier paramètre correspond à l’heuristique 1.2 dans le cas de données 1D. Par exemple, dans l’exemple 1.12, ℓ est égal au nombre de seuils de l’image et σB définira le diamètre des intervalles dans lesquels les valeurs de luminance devraient être groupées. Cette définition reste dans l’esprit des développements de la section 1.3 car σ défini par (1.2) reflète la distance référence de clustering dans le cas d’isotropie locale et divise suffisamment la distribution des points. Avec 256 niveaux de luminance maximum, la distribution ne peut pas être considérée comme localement dispersée (beaucoup de valeurs sont égales entre elles) et on doit donner une distance caractéristique à partir de laquelle les valeurs de luminance peuvent être clusterisées. On note aussi que la solution de prendre σB = Imax/256 revient à re-échelonner les valeurs de luminance en clusters, équivalent à une décomposition très fine du grain de l’image, alors que la segmentation d’image doit requérir une analyse de tous les clusters constitués de pixels proches entre eux et avec le même niveau de luminance. Dans les résultats suivants, les approches (1.1) et (1.6) sont testées pour le calcul de la matrice affinité sur deux images de 50 × 50 pixels soit N = 2500 points. Ces images présentent des caractéristiques intéressantes : l’image de gauche représente plusieurs fleurs aux niveaux de gris nettement différents tandis que l’image de droite représente une seule fleur, une rose, dont les niveaux de gris restent très proches et les nuances liées au relief des pétales sont difficiles à cerner. Les figures 1.12 et 1.13 représentent sur la gauche l’image seuillée et sur la droite, les résultats du clustering obtenus avec : – le produit d’une similarité spatiale et une similarité de luminescence (1.6) pour les figures 1.12 et 1.13 (a) et (c), – la boîte 3D affinité (1.1) pour les figures 1.12 et 1.13 (b) et (d). Dans les deux cas, les résultats sont visuellement acceptables. L’approche 3D semble donner de meilleurs résultats que celle avec le produit 2D par 1D mais cela nécessite de plus amples études pour s’assurer qu’une approche est meilleure en général et affiner les résultats. Cependant, le calcul du spectre de la matrice affinité pleine limite cette étude et nous restreint à considérer de faibles dimensions pour l’image.
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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