Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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1.4 Métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> modifiées 27<br />
C<strong>et</strong> exemple montre, <strong>à</strong> nouveau, l’impact sur l’affinité intra-cluster <strong>et</strong> inter-clusters que peut avoir<br />
le paramètre σ. Les résultats du tableau 1.1 (a) montrent aussi que les <strong>de</strong>ux heuristiques σ1 <strong>et</strong> σ2<br />
appartiennent aux intervalles appropriés dans tous les cas.<br />
Deuxième exemple : 3 portions d’hyperpshères<br />
C<strong>et</strong> exemple, représenté sur <strong>la</strong> figure 1.11 (b), est construit dans le même esprit que le précé<strong>de</strong>nt.<br />
De même, le tableau 1.1 (b) regroupe les résultats du clustering spectral via les <strong>de</strong>ux mesures <strong>de</strong><br />
qualité en fonction <strong>de</strong> p. En comparaison avec l’exemple <strong>de</strong>s 6 blocs, chaque cluster présente un<br />
volume différent <strong>et</strong> <strong>la</strong> structure sphérique m<strong>et</strong> <strong>à</strong> défaut <strong>de</strong>s techniques comme le k-means car les<br />
clusters ne sont pas séparables linéairement. Ainsi, les intervalles où Perreur = 0% sont approximativement<br />
les mêmes que ceux où le ratio <strong>de</strong> normes <strong>de</strong> Frobenius est inférieur <strong>à</strong> 0.15. Concernant les<br />
valeurs <strong>de</strong>s heuristiques σ1 <strong>et</strong> σ2, on obtient les mêmes conclusions que pour l’exemple avec 6 blocs.<br />
1.4 Métho<strong>de</strong>s <strong>de</strong> c<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> modifiées<br />
Dans c<strong>et</strong>te section, <strong>de</strong> nouvelles définitions d’affinité, dérivées <strong>de</strong> l’affinité gaussienne (1.1),<br />
sont considérées. Tout d’abord, nous proposons <strong>de</strong> considérer <strong>de</strong>s volumes au lieu <strong>de</strong> distances<br />
euclidiennes. Ensuite, dans un cadre <strong>de</strong> segmentation d’images où les informations géométriques<br />
<strong>et</strong> <strong>de</strong> luminance peuvent être considérées séparément, nous proposons d’englober ces <strong>de</strong>ux notions<br />
dans un volume.<br />
1.4.1 Cas <strong>de</strong> données volumiques<br />
Dans le même esprit que le point <strong>de</strong> vue géométrique développé pour l’heuristique (1.2), nous<br />
avons considéré <strong>de</strong>s ratios <strong>de</strong> volumes <strong>à</strong> <strong>la</strong> p<strong>la</strong>ce <strong>de</strong> ratio <strong>de</strong> normes définis par <strong>la</strong> re<strong>la</strong>tion (1.1).<br />
Ainsi, nous incorporons une puissance dans l’exponentielle <strong>et</strong> <strong>la</strong> matrice affinité est définie par :<br />
<br />
d<br />
xi − xj2<br />
Aij = exp −<br />
, (1.5)<br />
σ/2<br />
où d est pris respectivement entre 1 <strong>et</strong> 5 sur ces exemples afin <strong>de</strong> vérifier expérimentalement l’adéquation<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> puissance d en fonction <strong>de</strong> <strong>la</strong> dimension du problème p comme suggéré précé<strong>de</strong>mment<br />
(cf tableau 1.2). Pour chaque dimension, nous avons donc fait varier <strong>la</strong> puissance d dans le calcul<br />
<strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité <strong>de</strong> (1.5) <strong>et</strong> les intervalles <strong>de</strong> faisabilité sont calculés pour chaque cas pour<br />
les valeurs <strong>de</strong> σ par rapport aux <strong>de</strong>ux mesures <strong>de</strong> qualité basées sur le pourcentage d’erreur <strong>de</strong><br />
clustering <strong>et</strong> les ratios <strong>de</strong> norme <strong>de</strong> Frobenius. Le diamètre <strong>de</strong>s intervalles, particulièrement pour<br />
<strong>la</strong> première mesure <strong>de</strong> qualité est plus grand pour une valeur <strong>de</strong> d proche <strong>de</strong> p. Ceci a tendance <strong>à</strong><br />
abon<strong>de</strong>r dans le fait <strong>de</strong> considérer <strong>de</strong>s ratios <strong>de</strong> volumes plutôt que <strong>de</strong>s distances au carré. Mais c<strong>et</strong>te<br />
définition connaît une limite pour <strong>de</strong> gran<strong>de</strong>s dimensions : <strong>la</strong> puissance p implique que les points<br />
doivent ba<strong>la</strong>yer chaque dimension <strong>de</strong> façon assez uniforme pour obtenir une matrice d’affinité nulle.<br />
1.4.2 Traitement d’images<br />
On considère maintenant un exemple <strong>de</strong> segmentation d’images. Dans ce cas, <strong>la</strong> matrice affinité<br />
est définie avec <strong>de</strong>ux approches différentes :