Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

1.4 Méthodes de classification spectrale modifiées 27
Cet exemple montre, à nouveau, l’impact sur l’affinité intra-cluster et inter-clusters que peut avoir
le paramètre σ. Les résultats du tableau 1.1 (a) montrent aussi que les deux heuristiques σ1 et σ2
appartiennent aux intervalles appropriés dans tous les cas.
Deuxième exemple : 3 portions d’hyperpshères
Cet exemple, représenté sur la figure 1.11 (b), est construit dans le même esprit que le précédent.
De même, le tableau 1.1 (b) regroupe les résultats du clustering spectral via les deux mesures de
qualité en fonction de p. En comparaison avec l’exemple des 6 blocs, chaque cluster présente un
volume différent et la structure sphérique met à défaut des techniques comme le k-means car les
clusters ne sont pas séparables linéairement. Ainsi, les intervalles où Perreur = 0% sont approximativement
les mêmes que ceux où le ratio de normes de Frobenius est inférieur à 0.15. Concernant les
valeurs des heuristiques σ1 et σ2, on obtient les mêmes conclusions que pour l’exemple avec 6 blocs.
1.4 Méthodes de classification spectrale modifiées
Dans cette section, de nouvelles définitions d’affinité, dérivées de l’affinité gaussienne (1.1),
sont considérées. Tout d’abord, nous proposons de considérer des volumes au lieu de distances
euclidiennes. Ensuite, dans un cadre de segmentation d’images où les informations géométriques
et de luminance peuvent être considérées séparément, nous proposons d’englober ces deux notions
dans un volume.
1.4.1 Cas de données volumiques
Dans le même esprit que le point de vue géométrique développé pour l’heuristique (1.2), nous
avons considéré des ratios de volumes à la place de ratio de normes définis par la relation (1.1).
Ainsi, nous incorporons une puissance dans l’exponentielle et la matrice affinité est définie par :
d
xi − xj2
Aij = exp −
, (1.5)
σ/2
où d est pris respectivement entre 1 et 5 sur ces exemples afin de vérifier expérimentalement l’adéquation
de la puissance d en fonction de la dimension du problème p comme suggéré précédemment
(cf tableau 1.2). Pour chaque dimension, nous avons donc fait varier la puissance d dans le calcul
de la matrice affinité de (1.5) et les intervalles de faisabilité sont calculés pour chaque cas pour
les valeurs de σ par rapport aux deux mesures de qualité basées sur le pourcentage d’erreur de
clustering et les ratios de norme de Frobenius. Le diamètre des intervalles, particulièrement pour
la première mesure de qualité est plus grand pour une valeur de d proche de p. Ceci a tendance à
abonder dans le fait de considérer des ratios de volumes plutôt que des distances au carré. Mais cette
définition connaît une limite pour de grandes dimensions : la puissance p implique que les points
doivent balayer chaque dimension de façon assez uniforme pour obtenir une matrice d’affinité nulle.
1.4.2 Traitement d’images
On considère maintenant un exemple de segmentation d’images. Dans ce cas, la matrice affinité
est définie avec deux approches différentes :