Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

26 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre
Remarque 1.9. D’après les figures 1.9 et 1.10, il existe un majorant dans les valeurs de σ mais
il existe aussi un minorant. Le conditionnement de la matrice affinité (1.1), fonction d’une norme
matricielle de A et de son inverse, impose une valeur minimale strictement positive pour éviter une
matrice nulle.
1.3.2 Exemples géométriques de dimension p ≥ 2
Afin de valider l’approche géométrique détaillée précédemment, on considère deux exemples de
dimension p : le premier avec six blocs identiques de dimension p faiblement séparés entre eux et
le deuxième avec des morceaux de p-sphère de R p (cf figure 1.11). Les résultats présentés dans la
suite sont obtenus en prenant consécutivement des valeurs de σ entre 0.01 et 1.5 et en calculant les
deux mesures introduites précédemment (section 1.4). Des intervalles de faisabilité pour les valeurs
de σ sont définis. Le but est de vérifier si les heuristiques (1.2) et (1.3) appartiennent aux intervalles
appropriés ou non.
Premier exemple : 6 blocs
(a) p=3, n=384 (b) p=3, n=1200
Figure 1.11 – Exemple 1 & 2 : 6 blocs et 3 portions de N-spheres
Cette géométrie, voir figure 1.11 (a), est constituée de 6 blocs de dimension p avec une distribution
uniforme pour chacun. Cet exemple est en parfait accord avec l’hypothèse d’isotropie évoquée
dans la section 3. Chaque bloc est composé de N p points avec un pas de 0.1 dans chaque direction,
et avec N = 4 dans le cas de p = {2, 3} et N = 3 dans le cas p = 4. Les blocs sont séparés entre eux
d’une distance de 0.13. Cet exemple correspond au cadre de l’heuristique (1.3) pour σ. Sur le tableau
1.1, sont indiqués les résultats pour les trois dimensions p du problème et aussi les valeurs σ1 et σ2
correspondant respectivement aux heuristiques (1.2) et (1.3). Pour déterminer les intervalles dans
le cas des ratios de normes de Frobenius entre les blocs, la mesure de qualité est considérée comme
acceptable lorsque le minimum des rij défini par (1.4), pour i ∈ {1, .., k} et i = j, est inférieur
ou égal à 0.15. En raison de la géométrie de l’exemple où l’on représente des clusters séparables
linéairement, l’intervalle du pourcentage d’erreur pour lequel il n’existe pas d’erreur de clustering a
un diamètre nettement plus grand que celui pour lequel le ratio de Frobenius est inférieur à 0.15.