Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

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24 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre où L (ij) Ni F = l=1 Nj m=1 |L(ij) lm |2 1 2 et où Ni et Nj sont les dimensions du bloc (ij) de L. Si le ratio est proche de 0 alors la matrice affinité réordonnancée par cluster a une structure blocdiagonale, proche du cas idéal et donc le clustering obtenu est bon. Prenons l’exemple du cas idéal de la figure 1.1 où l’on considère 3 blocs séparés d’une distance d. Avec k = 3, la matrice suivante L s’écrit donc de la façon suivante : ⎡ L = ⎣ L (11) L (12) L (13) L (21) L (22) L (23) L (31) L (32) L (33) En notant d(xl, xm) la distance séparant xl et xm, deux points de S appartenant à deux clusters différents, on définit par ɛlm la distance telle que ɛlm = d(xl, xm) − d où d est la distance de séparation entre les blocs. Pour i = j, la norme de Frobenius du bloc hors-diagonal L (ij) est majorée par inégalité triangulaire par : ˆ L (ij) 2 F = Ni Nj l=1 m=1 e − d+ɛlm 2 2 σ2 d2 − ≤ e σ2 ⎤ ⎦ Ni Nj l=1 m=1 e −ɛ lm 2 2 σ 2 . Pour i = j, les points de S appartenant au même cluster sont séparés par une distance homogène à ɛlm. Donc, le ratio rij est fonction de t ↦→ exp(− d2 t2 ) qui tend vers 0 lorsque t tend vers 0. Cette mesure traduit par elle-même le principe du clustering : si le ratio est proche de 0 alors des points appartenant à des clusters différents seront le moins semblable et des points appartenant au même cluster le plus semblable possible. Si le ratio rij est proche de 0, la matrice affinité a une structure quasi bloc-diagonale. Cette situation correspond dans l’espace spectral à des clusters concentrés et séparés. Dans le cas général, les blocs hors-diagonaux de la matrice affinité normalisée L ne sont pas des blocs nuls. Dans la figure 1.10 où l’on considère tous les exemples géométriques précédemment présentés, les valeurs des ratios rij en fonction des valeurs de σ sont tracées pour les diverses valeurs de (i, j) ∈ {1, .., k} 2 avec i = j. Les lignes verticales noire, verte et magenta en pointillés indiquent respectivement la valeur du paramètre heuristique (1.2), celle du paramètre heuristique (1.3) et celle définie par Brand [20]. A l’instar de la mesure de qualité basée sur la matrice de confusion, les valeurs de σ proches de 0 ne sont pas testées pour les figures (b), (e) et (f) à cause du mauvais conditionnement de la matrice affinité A (supérieur à 1013 ). D’après les variations de ces mesures suivant les valeurs de σ, les intervalles sur lesquels la matrice affinité s’approche d’une structure bloc diagonale coïncident avec ceux du pourcentage d’erreur de la précédente mesure de qualité. Cet intervalle dépend de la nature du problème et diffère suivant les cas comme on l’a observé avec la précédente mesure de qualité. Les résultats sur les six exemples géométriques montrent que l’intervalle de valeurs pour un choix approprié du paramètre σ est approximativement le même que pour la mesure de qualité basée sur le ratio matrice de confusion. Remarque 1.8. Cette mesure permet donc d’évaluer la partition finale du clustering spectral à partir de l’affinité entre les points. Etant non supervisée par nature, cette mesure peut être utilisée pour déterminer le nombre de clusters k : le critère à minimiser serait un ratio moyen sur tous les blocs de la partition pour diverses valeurs de k (cf chapitre 4).
1.3.1 Mesures de qualité 25 (a) Smile (c) Cercles (d) Portions de couronnes (f) Carrés (g) Cible (i) Rectangles étirés Figure 1.10 – Ratio de normes de Frobenius fonction du paramètre σ
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Bibliographie [1] P.D. Acton, L.S.
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BIBLIOGRAPHIE 161 [37] M. Ester, H.
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BIBLIOGRAPHIE 163 [75] R. Maroy, R.
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BIBLIOGRAPHIE 165 [114] L. Yen, D.
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