Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications

24 Classification spectrale : algorithme et étude du paramètre
où L (ij) Ni F = l=1
Nj m=1 |L(ij)
lm |2
1
2
et où Ni et Nj sont les dimensions du bloc (ij) de L.
Si le ratio est proche de 0 alors la matrice affinité réordonnancée par cluster a une structure blocdiagonale,
proche du cas idéal et donc le clustering obtenu est bon.
Prenons l’exemple du cas idéal de la figure 1.1 où l’on considère 3 blocs séparés d’une distance
d. Avec k = 3, la matrice suivante L s’écrit donc de la façon suivante :
⎡
L = ⎣
L (11) L (12) L (13)
L (21) L (22) L (23)
L (31) L (32) L (33)
En notant d(xl, xm) la distance séparant xl et xm, deux points de S appartenant à deux clusters
différents, on définit par ɛlm la distance telle que ɛlm = d(xl, xm) − d où d est la distance de
séparation entre les blocs. Pour i = j, la norme de Frobenius du bloc hors-diagonal L (ij) est majorée
par inégalité triangulaire par :
ˆ L (ij) 2 F =
Ni
Nj
l=1 m=1
e − d+ɛlm 2
2
σ2 d2
−
≤ e σ2 ⎤
⎦
Ni
Nj
l=1 m=1
e −ɛ lm 2
2
σ 2 .
Pour i = j, les points de S appartenant au même cluster sont séparés par une distance homogène
à ɛlm. Donc, le ratio rij est fonction de t ↦→ exp(− d2
t2 ) qui tend vers 0 lorsque t tend vers 0.
Cette mesure traduit par elle-même le principe du clustering : si le ratio est proche de 0 alors des
points appartenant à des clusters différents seront le moins semblable et des points appartenant
au même cluster le plus semblable possible. Si le ratio rij est proche de 0, la matrice affinité a
une structure quasi bloc-diagonale. Cette situation correspond dans l’espace spectral à des clusters
concentrés et séparés. Dans le cas général, les blocs hors-diagonaux de la matrice affinité normalisée
L ne sont pas des blocs nuls. Dans la figure 1.10 où l’on considère tous les exemples géométriques
précédemment présentés, les valeurs des ratios rij en fonction des valeurs de σ sont tracées pour
les diverses valeurs de (i, j) ∈ {1, .., k} 2 avec i = j. Les lignes verticales noire, verte et magenta
en pointillés indiquent respectivement la valeur du paramètre heuristique (1.2), celle du paramètre
heuristique (1.3) et celle définie par Brand [20]. A l’instar de la mesure de qualité basée sur la
matrice de confusion, les valeurs de σ proches de 0 ne sont pas testées pour les figures (b), (e) et
(f) à cause du mauvais conditionnement de la matrice affinité A (supérieur à 1013 ).
D’après les variations de ces mesures suivant les valeurs de σ, les intervalles sur lesquels la matrice
affinité s’approche d’une structure bloc diagonale coïncident avec ceux du pourcentage d’erreur de
la précédente mesure de qualité. Cet intervalle dépend de la nature du problème et diffère suivant
les cas comme on l’a observé avec la précédente mesure de qualité. Les résultats sur les six exemples
géométriques montrent que l’intervalle de valeurs pour un choix approprié du paramètre σ est
approximativement le même que pour la mesure de qualité basée sur le ratio matrice de confusion.
Remarque 1.8. Cette mesure permet donc d’évaluer la partition finale du clustering spectral à
partir de l’affinité entre les points. Etant non supervisée par nature, cette mesure peut être utilisée
pour déterminer le nombre de clusters k : le critère à minimiser serait un ratio moyen sur tous les
blocs de la partition pour diverses valeurs de k (cf chapitre 4).