Contributions à l'étude de la classification spectrale et applications
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24 C<strong>la</strong>ssification <strong>spectrale</strong> : algorithme <strong>et</strong> étu<strong>de</strong> du paramètre<br />
où L (ij) Ni F = l=1<br />
Nj m=1 |L(ij)<br />
lm |2<br />
1<br />
2<br />
<strong>et</strong> où Ni <strong>et</strong> Nj sont les dimensions du bloc (ij) <strong>de</strong> L.<br />
Si le ratio est proche <strong>de</strong> 0 alors <strong>la</strong> matrice affinité réordonnancée par cluster a une structure blocdiagonale,<br />
proche du cas idéal <strong>et</strong> donc le clustering obtenu est bon.<br />
Prenons l’exemple du cas idéal <strong>de</strong> <strong>la</strong> figure 1.1 où l’on considère 3 blocs séparés d’une distance<br />
d. Avec k = 3, <strong>la</strong> matrice suivante L s’écrit donc <strong>de</strong> <strong>la</strong> façon suivante :<br />
⎡<br />
L = ⎣<br />
L (11) L (12) L (13)<br />
L (21) L (22) L (23)<br />
L (31) L (32) L (33)<br />
En notant d(xl, xm) <strong>la</strong> distance séparant xl <strong>et</strong> xm, <strong>de</strong>ux points <strong>de</strong> S appartenant <strong>à</strong> <strong>de</strong>ux clusters<br />
différents, on définit par ɛlm <strong>la</strong> distance telle que ɛlm = d(xl, xm) − d où d est <strong>la</strong> distance <strong>de</strong><br />
séparation entre les blocs. Pour i = j, <strong>la</strong> norme <strong>de</strong> Frobenius du bloc hors-diagonal L (ij) est majorée<br />
par inégalité triangu<strong>la</strong>ire par :<br />
ˆ L (ij) 2 F =<br />
Ni <br />
Nj <br />
l=1 m=1<br />
e − d+ɛlm 2<br />
2<br />
σ2 d2<br />
−<br />
≤ e σ2 ⎤<br />
⎦<br />
Ni <br />
Nj <br />
l=1 m=1<br />
e −ɛ lm 2<br />
2<br />
σ 2 .<br />
Pour i = j, les points <strong>de</strong> S appartenant au même cluster sont séparés par une distance homogène<br />
<strong>à</strong> ɛlm. Donc, le ratio rij est fonction <strong>de</strong> t ↦→ exp(− d2<br />
t2 ) qui tend vers 0 lorsque t tend vers 0.<br />
C<strong>et</strong>te mesure traduit par elle-même le principe du clustering : si le ratio est proche <strong>de</strong> 0 alors <strong>de</strong>s<br />
points appartenant <strong>à</strong> <strong>de</strong>s clusters différents seront le moins semb<strong>la</strong>ble <strong>et</strong> <strong>de</strong>s points appartenant<br />
au même cluster le plus semb<strong>la</strong>ble possible. Si le ratio rij est proche <strong>de</strong> 0, <strong>la</strong> matrice affinité a<br />
une structure quasi bloc-diagonale. C<strong>et</strong>te situation correspond dans l’espace spectral <strong>à</strong> <strong>de</strong>s clusters<br />
concentrés <strong>et</strong> séparés. Dans le cas général, les blocs hors-diagonaux <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité normalisée<br />
L ne sont pas <strong>de</strong>s blocs nuls. Dans <strong>la</strong> figure 1.10 où l’on considère tous les exemples géométriques<br />
précé<strong>de</strong>mment présentés, les valeurs <strong>de</strong>s ratios rij en fonction <strong>de</strong>s valeurs <strong>de</strong> σ sont tracées pour<br />
les diverses valeurs <strong>de</strong> (i, j) ∈ {1, .., k} 2 avec i = j. Les lignes verticales noire, verte <strong>et</strong> magenta<br />
en pointillés indiquent respectivement <strong>la</strong> valeur du paramètre heuristique (1.2), celle du paramètre<br />
heuristique (1.3) <strong>et</strong> celle définie par Brand [20]. A l’instar <strong>de</strong> <strong>la</strong> mesure <strong>de</strong> qualité basée sur <strong>la</strong><br />
matrice <strong>de</strong> confusion, les valeurs <strong>de</strong> σ proches <strong>de</strong> 0 ne sont pas testées pour les figures (b), (e) <strong>et</strong><br />
(f) <strong>à</strong> cause du mauvais conditionnement <strong>de</strong> <strong>la</strong> matrice affinité A (supérieur <strong>à</strong> 1013 ).<br />
D’après les variations <strong>de</strong> ces mesures suivant les valeurs <strong>de</strong> σ, les intervalles sur lesquels <strong>la</strong> matrice<br />
affinité s’approche d’une structure bloc diagonale coïnci<strong>de</strong>nt avec ceux du pourcentage d’erreur <strong>de</strong><br />
<strong>la</strong> précé<strong>de</strong>nte mesure <strong>de</strong> qualité. C<strong>et</strong> intervalle dépend <strong>de</strong> <strong>la</strong> nature du problème <strong>et</strong> diffère suivant<br />
les cas comme on l’a observé avec <strong>la</strong> précé<strong>de</strong>nte mesure <strong>de</strong> qualité. Les résultats sur les six exemples<br />
géométriques montrent que l’intervalle <strong>de</strong> valeurs pour un choix approprié du paramètre σ est<br />
approximativement le même que pour <strong>la</strong> mesure <strong>de</strong> qualité basée sur le ratio matrice <strong>de</strong> confusion.<br />
Remarque 1.8. C<strong>et</strong>te mesure perm<strong>et</strong> donc d’évaluer <strong>la</strong> partition finale du clustering spectral <strong>à</strong><br />
partir <strong>de</strong> l’affinité entre les points. Etant non supervisée par nature, c<strong>et</strong>te mesure peut être utilisée<br />
pour déterminer le nombre <strong>de</strong> clusters k : le critère <strong>à</strong> minimiser serait un ratio moyen sur tous les<br />
blocs <strong>de</strong> <strong>la</strong> partition pour diverses valeurs <strong>de</strong> k (cf chapitre 4).